AMC 10 · 2019 · #8

학년 8 counting

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor-Pair Enumeration

combinations-basiccaseworkcontradiction-elementarysystematic-enumeration caseworksystematic-enumerationcontradiction-elementary ↑ 선수 지식: combinations-basic

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

평면에 서로 다른 직선 네 개를 놓습니다. 그중 적어도 두 직선 위에 있는 점의 개수를 N이라 합니다. 한 점을 몇 개의 직선이 지나든 그 점은 한 번만 셉니다. 네 직선을 어떻게 놓느냐에 따라 N이 가질 수 있는 값을 모두 구해 더하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

풀이 과정

전략 그림 그리기

도구 #1(그림): 후보 배치들을 직접 스케치. 도구 #2(나열): 후보 값 N = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 (최대는 C(4, 2) = 6)를 적어두고 각 값이 가능한지 점검. 도구 #9(쉬운 문제): 각 값마다 구체적인 작은 그림 — 전부 평행, 한 점 다발, 평행쌍 + 횡단선 등. 도구 #3(가능성 지우기): N = 2가 불가능함을 짧은 모순 논증으로 보이고 살아남는 값을 모두 더함.

1STEP 1

최댓값 정하기

쌍의 개수가 상한입니다.

N ≤ C(4, 2) = 6

2STEP 2

모두 평행일 때

교점이 하나도 없습니다.

평행 4개 → N = 0

3STEP 3

모두 한 점에서 만날 때

교점이 하나뿐입니다.

한 점에서 만나는 4개 → N = 1

4STEP 4

만들 수 없는 값

교점이 둘인 배치는 존재하지 않습니다.

N = 2 → 두 경우 모두 모순

5STEP 5

셋이 평행할 때

가로지르는 직선이 세 점을 만듭니다.

평행 3 + 횡단선 1 → N = 3

6STEP 6

셋이 한 점에서 만날 때

남은 직선이 세 점을 더합니다.

공점 3개 + 일반 위치 1개 → N = 1 + 3 = 4

7STEP 7

평행 한 쌍만 있을 때

교점이 하나 줄어듭니다.

평행쌍 1개, 공점 없음 → N = 6 - 1 = 5

8STEP 8

일반적인 배치

모든 쌍이 서로 다른 점에서 만납니다.

일반 위치 4개 → N = C(4, 2) = 6

9STEP 9

가능한 값 모두 더하기

모두 더하면 19입니다.

0 + 1 + 3 + 4 + 5 + 6 = 19

10STEP 10

보기와 맞추기

보기 중 하나와 정확히 맞습니다.

19 → (D)

정답

N 의 범위는 0 (모두 평행)부터 6 (일반 위치)까지. 모든 값이 가능하면 합은 0 + 1 + … + 6 = 21 인데 N = 2 하나만 불가능 — 21 - 2 = 19와 정확히 일치.

💡핵심 정리

이 AMC 12 문제는 사실 8학년 때 배운 직선·평행 추론만 알면 풀 수 있어요! 네 직선으로 0, 1, 3, 4, 5, 6 개의 교점은 모두 만들 수 있어요 — 전부 평행 (0), 한 점 다발 (1), 평행 셋 + 횡단선 (3), 공점 셋 + 일반선 (4), 평행쌍 하나 (5), 일반 위치 (6). 오직 N = 2만 어떻게 그려도 불가능해서 빠져요. 합: 0 + 1 + 3 + 4 + 5 + 6 = 19, 답 (D).