AMC 10 · 2019 · #9

학년 8 number-theory

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Successive Multiplicative Steps

recursive-sequencesequences-arithmeticpattern-recognitiontelescoping-sum pattern-recognitionidentify-subproblems ↑ 선수 지식: recursive-sequencesequences-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

어떤 수열이 첫 항 1, 둘째 항 7분의 3으로 시작하고, 셋째 항부터는 앞 두 항의 곱을 앞앞 항의 두 배에서 앞 항을 뺀 값으로 나눈 것입니다. 2019번째 항은 기약분수가 됩니다. 분자와 분모의 합을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

2020

(B)

4039

(C)

6057

(D)

6061

(E)

8078

풀이 과정

전략 다르게 정리하기

도구 #15(다르게 정리): 역수를 취해 b_n = 1/a_n 로 두면 곱셈식이 깔끔한 일차 점화식 b_n = 2 b_n-1 - b_n-2로 바뀜 — 즉 b_n - b_n-1가 일정해 등차수열. 도구 #5(패턴) + 도구 #9(쉬운 문제): a₃, a₄를 손으로 검증해 등차 패턴 확인. 그러면 b₂₀₁₉는 등차 일반항으로 즉시 계산, 마지막으로 p + q 도출. 도구 #3으로 선택지 매칭.

1STEP 1

역수로 바꾸기

역수를 취하면 식이 단순해집니다.

b_n = 1/a_n → b_n = 2 b_n-1 - b_n-2

2STEP 2

등차수열임을 알아채기

이웃한 차이가 일정합니다.

b_n - b_n-1 = b_n-1 - b_n-2 → {b_n} 등차

3STEP 3

일반항 쓰기

첫 항과 공차로 일반항이 나옵니다.

b₁ = 1, b₂ = 7/3, d = 4/3 → b_n = (4n - 1)/3

4STEP 4

작은 항으로 확인

셋째 항으로 검산합니다.

a₃ = 3/7/11/7 = 3/11 = 1/b₃ ✓

5STEP 5

2019번째 항 구하기

공식에 넣어 그 항을 구합니다.

b₂₀₁₉ = 8075/3, a₂₀₁₉ = 3/8075

6STEP 6

기약분수인지 확인

분자와 분모가 서로소입니다.

8075 = 5² · 17 · 19, gcd(3, 8075) = 1 → p = 3, q = 8075

7STEP 7

둘을 더하기

더하면 8078입니다.

p + q = 3 + 8075 = 8078

8STEP 8

보기와 맞추기

보기 중 하나와 정확히 맞습니다.

8078 → (E)

정답

8078

선택지 자체가 좋은 단서: 8078 = 2 · 4039 ≈ 4 · 2019이고, 실제 q = 8075 ≈ 4 · 2019 — b₂₀₁₉ = (4 · 2019 - 1)/3의 분자와 정확히 부합. 또 n 이 커지면 b_n → ∞ 이므로 a_n → 0이고, 3/8075가 작은 값인 것도 일관됨.

💡핵심 정리

이 AMC 12 문제는 사실 8학년 때 배운 역수와 등차수열만 알면 풀 수 있어요! 역수 b_n = 1/a_n 로 두면 복잡한 곱셈 규칙이 b_n = 2 b_n-1 - b_n-2, 곧 {b_n}은 등차. b₁ = 1, b₂ = 7/3 라 공차 4/3, 일반항 b_n = (4n - 1)/3. n = 2019 에서 b₂₀₁₉ = 8075/3, a₂₀₁₉ = 3/8075. 8075 = 5² · 17 · 19이라 기약분수이므로 p + q = 3 + 8075 = 8078, 답 (E).