AMC 10 · 2019 · #1
학년 5 rate-ratio ratio-proportionfraction-multiplicationfraction-arithmetic identify-subproblems ↑ 선수 지식: fraction-arithmeticratio-proportion
📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
앨리샤에게 통이 두 개 있습니다. 첫 통은 6분의 5만큼 물이 차 있고 둘째 통은 비어 있습니다. 첫 통의 물을 모두 둘째 통에 부었더니 둘째 통이 4분의 3만큼 찼습니다. 첫 통의 부피와 둘째 통의 부피의 비를 구하세요.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
$\frac{5}{8}$
(B)
$\frac{4}{5}$
(C)
$\frac{7}{8}$
(D)
$\frac{9}{10}$
(E)
$\frac{11}{12}$
풀이 과정
전략 더 쉬운 문제로 줄이기
도구 #9(더 쉬운 문제): 두 번째 통의 부피로 친근한 수를 고름 — 6과 4의 최소공배수 12를 쓰면 두 분수 모두 정수가 됨. 그러면 V₁이 곧장 보임. 도구 #8(단위): 부은 물 양 = 받은 물 양, 즉 V₁ · 5/6 = V₂ · 3/4 — 양변을 비로 정리하면 답이 나옴. 도구 #3(가능성 지우기): 5/6 ＞ 3/4 인데 같은 양의 물이 더 큰 비율로 찼으니 첫 번째 통이 더 작음 — 비는 1 보다 작고, 깔끔히 맞는 분수가 (D).
1STEP 1
둘째 통을 편한 수로 두기
편한 수를 고르면 물의 양이 딱 떨어집니다.
V₂ = 12 → 부어진 물 = 3/4 · 12 = 9
통의 크기를 동그란 수로 정해 분수가 정수가 되게 함.
5.NF.B.6Solve An Easier Related Problem2STEP 2
첫 통의 조건 쓰기
그 물이 첫 통의 6분의 5였습니다.
5/6 · V₁ = 9
같은 물을 첫 번째 통의 관점에서 다시 잼.
5.NF.B.6Analyze The Units3STEP 3
첫 통의 부피 구하기
역산하면 첫 통의 부피가 나옵니다.
V₁ = 9 · 6/5 = 54/5
5/6로 나누기 = 6/5를 곱하기.
분수로 나누는 것은 그것을 뒤집어 곱하는 것과 같다.
▸ 왜?
분수와 그것을 뒤집은 것은 곱하면 1이 되므로, 뒤집은 것이 바로 그것을 되돌린다.
역연산뺄셈은 덧셈을, 나눗셈은 곱셈을 되돌린다 — 서로를 거꾸로 한다.
▸ 왜?
분수는 한 전체의 같은 몫을 세는 것이므로, 그것을 되돌리면 전체가 돌아온다.
분수는 하나를 똑같이 나눈 몫아래 수는 하나를 똑같이 몇 조각으로 잘랐는지를, 위 수는 그중 몇 조각인지를 말한다 — 그래서 같은 크기 조각은 세기만 하면 더해진다.
4STEP 4
비 구하기
나누면 10분의 9입니다.
V₁/V₂ = 54/5/12 = 54/60 = 9/10 → (D)
비를 약분해 선택지와 맞춰봄.
5.NF.A.1Eliminate Possibilities정답
9/10
맞는지 확인: 첫 번째 통이 5/6 찼을 때의 물 양 = 두 번째 통이 3/4 찼을 때의 물 양. 5/6 ＞ 3/4 이므로 같은 물이 첫 번째 통에서는 더 큰 비율로 차 있음 — 즉 첫 번째 통이 더 작음. 비 9/10 ＜ 1이 맞음. 대입 검산: V₁ = 10.8, 5/6 · 10.8 = 9; V₂ = 12, 3/4 · 12 = 9. 양변 일치.
💡핵심 정리
이 AMC 12 문제는 사실 5학년 분수 곱셈·나눗셈만 알면 풀 수 있어요 — 두 번째 통을 12 단위라 두면 물은 9 단위, 첫 번째 통은 10.8 단위, 비는 9/10!