AMC 10 · 2019 · #19

학년 7 probability

유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Markov State Probability

probability-basicsymmetry-argumentconditional-probabilityinvariant-monovariant systematic-enumerationpattern-recognition ↑ 선수 지식: probability-basicconditional-probability

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

세 사람이 각각 1달러씩 갖고 시작합니다. 종이 울릴 때마다 돈이 있는 사람은 모두 다른 두 사람 중 한 명에게 1달러를 줍니다. 받는 사람은 독립적으로 똑같은 확률로 정해집니다. 종이 2019번 울린 뒤 세 사람이 다시 정확히 1달러씩 갖고 있을 확률을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{7}$

(B)

$\frac{1}{4}$

(C)

$\frac{1}{3}$

(D)

$\frac{1}{2}$

(E)

$\frac{2}{3}$

풀이 과정

전략 더 쉬운 문제로 줄이기

도구 #9 (더 쉬운 문제): 2019가 부담 — 종 1 번, 2 번부터 풀어보고 답이 횟수에 의존하는지 확인. 도구 #2 (빠짐없이 나열): (1,1,1) 에서 출발하는 2 × 2 × 2 = 8 가지 결과 나열. 도구 #15 (다르게 정리): 6 가지 순서 있는 (2,1,0) 상태를 대칭으로 한 묶음. 도구 #5 (패턴): 전이 확률 계산 시, 어느 상태에서든 다음 단계 (1,1,1) 확률이 같음 → 횟수와 무관.

1STEP 1

균등한 상태에서 시작하기

결과가 여덟 가지입니다.

(1,1,1) 에서 결과 수 = 2 × 2 × 2 = 8

2STEP 2

균등에서 균등으로

돌아올 확률은 4분의 1입니다.

P((1,1,1) → (1,1,1)) = 2/8 = 1/4

3STEP 3

치우친 상태에서 균등으로

여기서도 확률이 4분의 1입니다.

P((2,1,0) → (1,1,1)) = 1/4

4STEP 4

모든 상태에서 같다

어디서 출발하든 값이 같습니다.

P(다음 = (1,1,1) ∣ 현재 어떤 상태든) = 1/4

5STEP 5

횟수는 무관하다

종을 몇 번 울리든 확률이 변하지 않습니다.

P(2019번 후) = 1/4

6STEP 6

답 읽기

확률은 4분의 1입니다.

1/4

정답

1/4

n = 1 검증: 8 중 2가 (1,1,1)로 복귀 → P = 1/4 ✓. n = 2 검증: (1,1,1) 출발 → 확률 1/4로 (1,1,1) 유지 후 또 1/4로 복귀, 확률 3/4로 (2,1,0) 이동 후 1/4로 복귀. 총 1/4 · 1/4 + 3/4 · 1/4 = 1/4 ✓. 선택지에 1/4 있고 n 의존 없음 — AMC '큰 수는 함정' 스타일과 일치.

💡핵심 정리

이 AMC 12 문제는 7학년 확률 나열만 있으면 풀려요 — (1,1,1)의 8 결과와 (2,1,0)의 4 결과를 보면 둘 다 다음에 (1,1,1) 될 확률이 1/4 이므로 2019는 의미 없음 — 답은 1/4.