AMC 10 · 2019 · #2
학년 4 logic prime-numbersprimality-testlogical-deduction caseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: prime-numbersprimality-test
📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
다음 주장을 봅니다. n이 소수가 아니면 n 빼기 2는 소수다. 다섯 보기 중에서 이 주장을 깨뜨리는 n을 찾으세요. 즉 n도 소수가 아니고 n 빼기 2도 소수가 아닌 값입니다.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
11
(B)
15
(C)
19
(D)
21
(E)
27
풀이 과정
전략 가능성 지우기
도구 #3(가능성 지우기): 답은 두 조건을 모두 만족해야 함. 먼저 n 자체가 합성수여야 하니 소수인 선택지는 즉시 탈락 — 11과 19가 제거됨. 도구 #2(빠짐없이 나열하기): 남은 합성수 n 마다 n - 2를 구해 소수 여부 확인. 유일한 생존자가 반례.
1STEP 1
소수인 보기 지우기
소수인 보기는 바로 탈락입니다.
11, 19 소수 → 탈락. 생존: 15, 21, 27.
n 이 소수면 주장의 'if' 부분이 거짓이라 깰 게 없음.
어떤 수가 소수라면 그 주장의 조건이 충족되지 않으므로, 무너뜨릴 것이 없다.
▸ 왜?
반례는 조건을 만족하면서 약속을 어겨야 하므로, 조건을 못 갖추면 자격이 없다.
반례 하나면 '언제나'는 무너진다모든 경우에 대한 주장은 실패하는 경우 하나를 보이는 순간 무너지며, 보이는 편이 따지는 편보다 쉽다.
▸ 왜?
주장은 조건 안의 경우에 대해서만 말하므로, 그 밖의 경우는 아무 말도 하지 않는다.
부분집합은 전체의 성질을 물려받는다모든 A가 B라면 모든 B에 참인 것은 모든 A에도 저절로 참이다 — 정사각형은 직사각형 전체에 성립하는 것을 물려받는다.
2STEP 2
남은 보기에서 2 빼기
남은 셋에서 2를 뺍니다.
15 - 2 = 13, 21 - 2 = 19, 27 - 2 = 25
각 생존자에서 2를 빼고 결과를 확인.
4.NBT.B.4Make A Systematic List3STEP 3
소수가 아닌 결과 고르기
결과가 합성수인 것은 하나뿐이라 답은 27입니다.
13 소수, 19 소수, 25 = 5 · 5 합성수 → n = 27 → (E)
n - 2가 합성수인 유일한 생존자가 주장을 깸.
4.OA.B.4Eliminate Possibilities정답
27
n = 27로 반례 확인. 27이 소수 아닌가? 맞음 — 27 = 3 · 9 = 3³, 합성수. 27 - 2 = 25가 소수인가? 아님 — 25 = 5 · 5, 합성수. 즉 '소수 아님 → n - 2 소수' 의 전제는 참인데 결론이 거짓 — 반례의 정의 그대로. 다른 합성수 15, 21은 n - 2가 소수라 주장과 일치.
💡핵심 정리
이 AMC 12 문제는 사실 4학년 '소수와 합성수' 판별만 알면 풀 수 있어요 — 소수(11, 19)부터 지우고 남은 합성수에서 2를 뺀 결과가 처음으로 합성수가 되는 곳을 찾으면 27 - 2 = 25 = 5 · 5, 답은 (E)!