AMC 10 · 2019 · #22

학년 8 algebra

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

recursive-sequencesequences-geometricexponentspolynomial-factoringestimation pattern-recognitionidentify-subproblems ↑ 선수 지식: recursive-sequencesequences-geometricexponents

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

어떤 수열이 첫 항 5에서 시작하고, 다음 항은 앞 항의 제곱에 앞 항의 다섯 배와 4를 더한 값을 앞 항 더하기 6으로 나눈 것입니다. 항이 4 더하기 2의 마이너스 20제곱 이하가 되는 가장 작은 번호를 m이라 할 때, m이 어느 구간에 들어가는지 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

[9,26]

(B)

[27,80]

(C)

[81,242]

(D)

[243,728]

(E)

$[729,\infty)$

풀이 과정

전략 더 쉬운 문제로 줄이기

도구 #13 (대수): 분자 인수분해로 고정점 x = 4 노출, y_n = x_n - 4 치환으로 평형을 0으로 이동. 도구 #9 (더 쉬운 문제): y = 0 근방에서 점화식이 거의 선형 (y_n+1 ≈ 9/10 y_n) — 닫힌 형태 기하 수열. 도구 #5 (패턴): 공비 9/10과 선택지 폭으로 m ≈ 20 log 2 / log(10/9) 추정. 도구 #6 (추측·확인): m ≈ 130을 선택지 구간에 대입. 도구 #3 (가능성 지우기): 구간이 넓어 거친 추정으로 충분.

1STEP 1

분자 인수분해하기

인수분해하면 4가 고정점임이 보입니다.

x_n+1 = (x_n+1)(x_n+4)/(x_n+6); x = 4 고정

2STEP 2

차이로 바꿔 쓰기

4에서의 차이로 식을 다시 씁니다.

y_n+1 = (y_n (y_n + 9))/(y_n + 10)

3STEP 3

차이가 줄어드는 비율

차이가 매번 대략 10분의 9가 됩니다.

y_n+1 ≈ 9/10 y_n → y_n ≈ (9/10)ⁿ

4STEP 4

필요한 단계 수 계산

로그를 써서 단계 수를 추정합니다.

m ≈ (20 log₁₀ 2)/log₁₀(10/9)

5STEP 5

수치로 계산하기

계산하면 대략 백삼십 정도입니다.

m ≈ 6.02/0.046 ≈ 131

6STEP 6

구간 고르기

그 값이 들어가는 구간을 고릅니다.

131 ∈ [81, 242]

7STEP 7

답 읽기

답은 81부터 242까지입니다.

[81, 242]

정답

[81,242]

두 가지 검증. (1) 실제 비 (y_n + 9)/(y_n + 10)은 y₀ = 1 일 때 10/11 ≈ 0.909 에서 시작해 9/10 = 0.9로 수렴. 즉 초반 감쇠가 9/10 보다 약간 느림 — 진짜 m 은 (9/10)^m = 2⁻²⁰ 추정보다 살짝 큼, 여전히 [81, 242] 안. (2) 비를 10/11로 고정 시 m log(11/10) ≥ 20 log 2, m ≥ 20 · 0.301 / 0.0414 ≈ 145 — 여전히 (C). 구간이 넓어 어떤 합리적 추정도 (C)에 안착.

💡핵심 정리

이 AMC 12 문제는 8학년 로그와 기하 수열만 있으면 풀려요 — y_n = x_n - 4 치환으로 공비 9/10 노출, (9/10)^m ≈ 1/2²⁰ 에서 m ≈ 131, 구간 [81, 242].