AMC 10 · 2019 · #3

학년 8 geometry-2d

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rotation-isometrycoordinate-geometryreflection-symmetry systematic-enumerationpattern-recognition ↑ 선수 지식: coordinate-geometryrotation-isometry

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

선분의 두 끝점이 (-2,1)과 (-1,4)입니다. 어떤 강체변환이 이 선분을 옮겨 첫 점은 (2,-1)로, 둘째 점은 (1,-4)로 보냅니다. 다섯 보기 중에서 정확히 그 일을 하는 변환을 고르세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

reflection in the } y \text{-axis

(B)

counterclockwise rotation around the origin by } 90^{\circ

(C)

translation by } 3 \text{ units to the right and } 5 \text{ units down

(D)

reflection in the } x \text{-axis

(E)

clockwise rotation about the origin by } 180^{\circ

풀이 과정

전략 가능성 지우기

후보가 다섯 개뿐이고 각각이 하나의 좌표 규칙이므로, 도구 #3(가능성 지우기)이 가장 효율적인 틀이다. 각 보기를 규칙으로 바꾸고, 한 점에 적용해 보고, 어긋나는 것을 버리면 된다. 그 전에 도구 #5(패턴 찾기)로 A와 A', B와 B'를 비교해 실제 규칙을 데이터에서 직접 읽어내면, 문제가 단순한 짝 맞추기로 바뀐다. 도구 #1(그림 그리기)과 도구 #17(공간 상상하기)이 이를 뒷받침한다. 네 점을 좌표평면에 찍어 보면 선분이 원점 건너편으로 옮겨 간 모습이 보이는데, 이것이 바로 반 바퀴 회전의 그림이다.

1STEP 1

점과 상을 나란히 놓기

점과 상을 나란히 놓습니다.

A(-2,1)→ A'(2,-1), B(-1,4)→ B'(1,-4)

2STEP 2

좌표 규칙 읽어내기

두 좌표가 모두 부호만 바뀝니다.

(x,y)↦(-x,-y)

3STEP 3

각 보기를 규칙으로 바꾸기

보기마다 규칙으로 바꿔 씁니다.

(A) (-x,y) (B) (-y,x) (C) (x+3,y-5) (D) (x,-y) (E) (-x,-y)

4STEP 4

A로 보기 걸러내기

첫 점 하나로 대부분이 걸러집니다.

(A)→(2,1), (B)→(-1,-2), (C)→(1,-4), (D)→(-2,-1)

5STEP 5

평행이동 함정 살피기

평행이동 보기는 두 점을 맞바꿉니다.

(C): A↦(1,-4)=B', B↦(2,-1)=A'

6STEP 6

남은 보기 확인하기

남는 것은 원점에 대한 180도 회전입니다.

(-2,1)↦(2,-1)=A', (-1,4)↦(1,-4)=B' → (E)

정답

원점을 중심으로 시계 방향 180° 회전

답은 서로 다른 세 가지 검사를 모두 통과한다. 첫째, 두 끝점이 모두 (x,y)↦(-x,-y)를 따르고, 대응 관계도 문제가 요구한 그대로다. 둘째, 이 변환은 실제로 강체변환이다. AB=√((-1-(-2))²+(4-1)²)=√(10)이고 A'B'=√((1-2)²+(-4-(-1))²)=√(10)이므로 길이가 보존되며, 이는 등거리변환의 조건이다. 셋째, AA'의 중점은 ((-2+2)/2,(1+(-1))/2)=(0,0)이고 BB'의 중점도 ((-1+1)/2,(4+(-4))/2)=(0,0)이다. 모든 점과 그 상이 원점을 사이에 두고 마주 보는데, 이것이 바로 원점 중심 반 바퀴 회전의 특징이다.

💡핵심 정리

먼저 각 점과 그 상을 비교해 보라. 두 좌표의 부호가 나란히 뒤집혔다면 그 선분은 원점을 중심으로 반 바퀴 돌아간 것이다.

점과 상을 나란히 놓기
좌표 규칙 읽어내기
각 보기를 규칙으로 바꾸기
A로 보기 걸러내기
평행이동 함정 살피기
남은 보기 확인하기