AMC 10 · 2019 · #4
학년 6 algebra factorialpolynomial-factoringfactorsdigit-sum pattern-recognitionguess-and-check ↑ 선수 지식: factorialpolynomial-factoring
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
어떤 양의 정수 n에 대해 n 더하기 1의 계승과 n 더하기 2의 계승을 더한 값이 n의 계승의 440배가 됩니다. 그 n을 찾아 자릿수를 모두 더하세요.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
3
(B)
8
(C)
10
(D)
11
(E)
12
풀이 과정
전략 추측하고 확인하기
팩토리얼이 무서워 보여도 세 항 모두 n! 을 공통으로 품고 있음. n! 을 통째로 빼내면 (도구 #9로 식 단순화) 모양이 드러나고 (도구 #5: 두 정수의 곱), 적당한 값을 시도해 (도구 #6) 답안 자리수 합으로 확인 (도구 #3).
1STEP 1
공통 인수 빼내기
두 항이 같은 계승을 공유합니다.
(n+1)!+(n+2)! = n![(n+1)+(n+2)(n+1)]
공통 n! 을 빼내면 팩토리얼 문제가 작은 대수 문제로 바뀜.
공통된 계승을 뽑아내면 계승 문제가 작은 대수 문제가 된다.
▸ 왜?
모든 항이 공유하는 인수는 앞으로 들어낼 수 있고, 안에는 작은 것만 남는다.
분배법칙(b와 c)를 a묶음 만든 것은 b를 a묶음, c를 a묶음 만든 것과 같다 — 묶음을 나눌 수 있다.
▸ 왜?
계승은 다음 계승에 인수 몇 개를 더 쌓은 것이므로, 공통된 조각을 알아보기 쉽다.
거듭제곱은 반복 곱셈b^n은 밑 b를 n번 곱한 것이며, 1보다 큰 밑의 거듭제곱은 값이 엄격히 커진다.
2STEP 2
남는 식 정리하기
정리하면 두 수의 곱이 됩니다.
(n+1) + (n+2)(n+1) = 440 → (n+1)[1+(n+2)] = 440 → (n+1)(n+3) = 440
2 차이 나는 두 자연수의 곱이 440 — 훨씬 다루기 쉬움.
6.EE.A.3Solve An Easier Related Problem3STEP 3
440을 두 인수로 쪼개기
두 인수가 2만큼 차이 나야 합니다.
20 × 22 = 440 ✓
√(440)≈ 21이라 두 인수는 21 근처 — 20, 22가 후보.
4.OA.B.4Guess And Check4STEP 4
n 구하기
그러면 n이 곧바로 나옵니다.
n + 1 = 20 → n = 19
두 식이 모두 같은 n 을 가리키므로 n=19가 정답.
6.EE.B.7Guess And Check5STEP 5
자릿수 더하기
자릿수를 더하면 10입니다.
1 + 9 = 10 → (C)
두 자리 수의 자리수 합은 십의 자리와 일의 자리를 더한 것.
2.NBT.A.1Eliminate Possibilities정답
10
검산: (19+1)!+(19+2)! = 20! + 21! = 20!·(1+21) = 20! · 22, 19! · 440 = 19! · 20 · 22 = 20! · 22. 양변 일치. n=19 확정, 자리수 합 10은 (C).
💡핵심 정리
이 AMC 12 문제는 사실 6학년 인수분해만 알면 풀 수 있어요 — 두 항에서 n! 을 빼내면 (n+1)(n+3)=440, 20 × 22가 보이니 n=19, 자리수 합은 10.