AMC 10 · 2019 · #5
학년 6 number-theory lcmprime-factorizationdivisibility-rulesmultiples identify-subproblems ↑ 선수 지식: lcmprime-factorization
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
캐스퍼의 지갑에는 빨간 사탕 12개, 초록 사탕 14개, 파란 사탕 15개, 또는 보라 사탕 n개를 살 수 있는 돈이 정확히 들어 있습니다. 모든 사탕은 정수 센트이고 보라 사탕은 20센트입니다. 가능한 가장 작은 n을 구하세요.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
18
(B)
21
(C)
24
(D)
25
(E)
28
풀이 과정
전략 더 쉬운 문제로 줄이기
사탕 이야기 뒤에 숨은 진짜 질문은 "네 수 모두로 나누어지는 가장 작은 센트 액수" — 곧 12, 14, 15, 20의 최소공배수 (도구 #9로 단순화). 도구 #6/#3으로 각 선택지를 20n 에 대입해 12, 14, 15로 나누어지는지 역검산. 도구 #8로 센트와 개수 단위를 헷갈리지 않게 함.
1STEP 1
금액의 조건 쓰기
금액이 모든 개수의 배수여야 합니다.
총액 = lcm(12, 14, 15, 20)
"정확히 k 개를 살 수 있다" 는 곧 총액이 k 의 배수라는 뜻.
6.NS.B.4Solve An Easier Related Problem2STEP 2
소인수로 쪼개기
각 수를 소인수로 쪼갭니다.
2² · 3 · 5 · 7 = 4 · 3 · 5 · 7
최소공배수는 등장하는 소수의 가장 센 지수를 챙긴 곱.
최소공배수는 무리에서 각 소수의 가장 센 몫을 집어 온다.
▸ 왜?
공배수는 각 소수를 그 수들 어느 것 못지않게 지녀야 한다.
최소공배수두 수의 공배수는 그 최소공배수의 배수들과 정확히 같고, 두 주기는 LCM에서 처음 만난다.
▸ 왜?
각 수의 소인수 조리법은 하나뿐이므로, 소수를 하나씩 견줄 수 있다.
소인수분해의 유일성1보다 큰 모든 정수는 (순서를 제외하면) 오직 한 가지 방법으로 소수의 곱으로 나타난다.
3STEP 3
최소공배수 구하기
보라 가격까지 넣어 최소공배수를 냅니다.
lcm = 420 센트
420 센트 = 4.20 — 주머니에 들어 있을 법한 액수.
5.NBT.B.5Solve An Easier Related Problem4STEP 4
보라 사탕 개수 구하기
가격으로 나눕니다.
n = 420/20 = 21
총 센트를 개당 가격으로 나누면 개수가 나옴.
5.NBT.B.6Analyze The Units5STEP 5
보기와 맞추기
결과는 21입니다.
n=21 → (B)
작은 후보가 나눗셈에서 떨어지지 않으면 그 다음 답으로 넘어감.
4.OA.B.4Eliminate Possibilities정답
21
420 센트 검산: 빨강 420/12 = 35¢, 초록 420/14 = 30¢, 파랑 420/15 = 28¢, 보라 420/20 = 21 개. 모두 자연수, 한 개당 1달러 미만 — 자연스러움. n=21, 답 (B).
💡핵심 정리
이 AMC 12 문제는 사실 6학년 최소공배수만 알면 풀 수 있어요 — Casper 의 센트가 12, 14, 15, 20 모두로 정확히 나뉘어야 하니 lcm(12,14,15,20) = 420 센트, n = 420/20 = 21.