AMC 10 · 2019 · #6

학년 8 geometry-2d

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint

pythagorean-theoremcoordinate-geometryarea-trianglesperimeterpolygon-inequality identify-subproblemscasework ↑ 선수 지식: pythagorean-theoremarea-trianglescoordinate-geometry

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

평면 위의 두 점이 10만큼 떨어져 있습니다. 이 두 점과 함께 삼각형을 만들되 둘레가 정확히 50이고 넓이가 정확히 100이 되게 하는 세 번째 점이 몇 개인지 세세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

infinitely many

풀이 과정

전략 그림 그리기

AB 를 좌표축 위에 놓아 그림을 구체화 (도구 #1 + #9). 조건을 (a) 넓이 → C 의 AB 로부터 높이, (b) 둘레 → 두 빗변 합 으로 나눠 (도구 #7), 가장 "가능성이 높은" C 를 먼저 시험 (도구 #6). 그것조차 실패하면 어떤 C 도 안 됨 — 도구 #3으로 (A) 확정.

1STEP 1

좌표 놓기

두 점을 대칭으로 놓습니다.

A = (-5, 0), B = (5, 0), C = (x, y)

2STEP 2

넓이가 높이를 정한다

넓이 조건이 높이를 못 박습니다.

5|y| = 100 → |y| = 20

3STEP 3

나머지 두 변의 합

둘레 조건이 남은 두 변의 합을 정합니다.

|AC| + |BC| = 50 - 10 = 40

4STEP 4

최소 합 구하기

그 높이에서 최소가 얼마인지 구합니다.

|AC| + |BC| = 10√(17)

5STEP 5

두 값 비교하기

최소가 요구값보다 이미 큽니다.

10√(17) ≈ 41.23 ＞ 40

6STEP 6

모든 위치에서 확인

어느 위치에서도 조건을 만족할 수 없습니다.

min_C 위 y=20(|AC|+|BC|) = 10√(17) ＞ 40

7STEP 7

개수 세기

따라서 답은 0입니다.

유효한 C 개수 = 0 → (A)

정답

직관 검산: 밑변 10, 넓이 100 삼각형은 높이 20의 매우 길쭉한 모양. 높이 20 에서 양 끝 A, B 까지의 가장 짧은 빗변도 √(5² + 20²) ≈ 20.6 정도, 두 빗변 합이 적어도 ≈ 41.2, 둘레는 적어도 ≈ 51.2 ＞ 50. 여유가 전혀 없음 — 답 (A)의 0과 일치.

💡핵심 정리

이 AMC 12 문제는 사실 8학년 피타고라스만 알면 풀 수 있어요 — 넓이 100이라 C 는 AB 위 (또는 아래) 20 만큼. 가장 가까운 C 의 빗변 합조차 10√(17)≈ 41.2 ＞ 40이라 둘레 50은 불가능 — 점 0 개.