AMC 10 · 2019 · #8

학년 9 algebra

유형 Pair-Sum Invariant └ 세부 유형 Uniform Pair-Sum Recovery

function-evaluationsymmetry-argumentparityfraction-arithmetic pattern-recognitionsymmetry-argumenteasier-related-problem ↑ 선수 지식: function-evaluation

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

어떤 함수가 x의 제곱 곱하기 1 빼기 x의 제곱으로 정의됩니다. 분모가 2019인 2018개의 분수를 차례로 넣고 그 결과를 부호를 번갈아 가며 더합니다. 분자가 홀수면 더하고 짝수면 뺍니다. 그 총합의 정확한 값을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

$\frac{1}{2019^{4}}$

(C)

$\frac{2018^{2}}{2019^{4}}$

(D)

$\frac{2020^{2}}{2019^{4}}$

(E)

풀이 과정

전략 패턴 찾기

무식하게 계산할 수 있는 것이 하나도 없으므로, 값은 식 안에 숨은 패턴에서 나와야 한다. 식 x²(1-x)²는 x와 1-x를 똑같이 다루는데, 이것이 쫓아갈 만한 패턴이다(패턴 찾기). 이 직감이 맞는지 확인하기 위해 먼저 2019를 손으로 계산할 수 있는 작은 홀수로 바꿔 같은 문제를 풀어 본다(더 쉬운 문제로 줄이기). 대칭성이 확인되면 지표 k로 일반항을 이름 붙이고(변수 도입하기), 그 대칭성을 분자에 대한 진술로 옮긴다(대수로 바꾸기). 마지막 수는 합을 왼쪽에서 오른쪽으로 읽기를 멈추고 짝을 지어 다시 묶는 것이며(다르게 정리하기), 바로 이것이 합을 무너뜨린다.

1STEP 1

일반항에 이름 붙이기

일반항에 이름을 붙입니다.

S = Σ_k=1²⁰¹⁸ (-1)^k+1 f (k/2019), f(x) = x²(1-x)²

2STEP 2

2019 대신 5로 같은 문제 풀어 보기

작은 수로 같은 문제를 풀어 봅니다.

f (1/5) = 16/625, f (2/5) = 36/625, f (3/5) = 36/625, f (4/5) = 16/625

3STEP 3

거울 대칭 증명하기

함수가 거울 대칭임을 확인합니다.

f(1-x) = (1-x)²(1-(1-x))² = (1-x)²x² = f(x)

4STEP 4

대칭성을 분자의 언어로 옮기기

대칭을 분자의 언어로 옮깁니다.

f (k/2019) = f (1 - k/2019) = f ((2019-k)/2019)

5STEP 5

짝지은 두 항의 부호 확인하기

짝지은 두 항은 부호가 반대입니다.

2019 - k ≡ k + 1 (mod 2)

6STEP 6

짝을 지어 다시 묶기

모두 짝을 이뤄 0이 됩니다.

S = [f (1/2019) - f (2018/2019)] + [f (3/2019) - f (2016/2019)] + … + [f (2017/2019) - f (2/2019)] = 0 + 0 + … + 0₁₀₀₉ = 0

정답

서로 독립적인 두 가지 확인. 첫째, 2019 대신 5로 손계산한 결과가 (16 - 36 + 36 - 16)/625 = 0이었고, 같은 짝짓기 논증은 어떤 홀수 분모에도 통하므로 0은 작은 수에서만 우연히 나온 값이 아니다. 둘째, 항의 개수를 세어 보면 +가 1009개, -가 1009개이고 짝짓기가 이들을 같은 값끼리 일대일로 맞춰 주므로 남는 항이 없다. 만약 항의 개수가 홀수였다면 하나가 남아 0이 아닌 값이 되었을 것이다. 나머지 네 보기는 모두 양수이고, 어느 것이 되려면 짝짓기가 어딘가에서 깨져야 한다. 그것들은 개별 항의 크기처럼 보이는데, 예를 들어 f(1/2019) = 2018²/2019⁴는 항 하나만 남기고 지운 사람을 위한 함정이다. 완전한 상쇄와 어울리는 값은 보기 (A)뿐이다.

💡핵심 정리

식이 앞뒤로 똑같이 읽히면 왼쪽부터 차례로 더하지 말고 첫 항과 마지막 항을 짝지어 보라. 값이 같고 부호가 반대인 두 항은 서로를 지워 버린다.

일반항에 이름 붙이기
2019 대신 5로 같은 문제 풀어 보기
거울 대칭 증명하기
대칭성을 분자의 언어로 옮기기
짝지은 두 항의 부호 확인하기
짝을 지어 다시 묶기