AMC 10 · 2019 · #9
학년 11 algebra답을 골라 클릭하세요.
'삼각형'은 기하 용어지만 여기서 쓰이는 기하는 삼각부등식 하나뿐이고, 그것은 결국 대수 부등식 세 개다. 그래서 계획은 그 세 부등식을 쓴 다음 로그를 정리하는 것이다. 두 로그 변은 달라 보이지만 실제로는 다르지 않다. 밑 4는 밑 2의 제곱이므로 log₄ x 는 정확히 log₂ x 의 절반이다. t = log₂ x 로 이름을 붙이면(변수 도입하기) 문제 전체가 한 변수의 일차부등식으로 줄어든다. t 를 구한 뒤 다시 x 로 되돌리고, 삼각형이 납작해지는 경계값 두 개를 확인하고(극단의 원리), 살아남은 정수를 센다(빠짐없이 나열하기).
넓이 양수를 부등식으로 바꾸기
넓이 양수를 세 부등식으로 바꿉니다.
가장 긴 막대가 충분히 짧아야 나머지 두 막대가 그것을 감싸 만날 수 있다.
7.G.A.2Convert To Algebra두 로그를 밑 2로 통일하기
두 로그를 같은 밑으로 통일합니다.
밑 4는 밑 2의 제곱이므로 같은 수에 도달하는 데 걸음 수가 절반이면 된다.
한 밑이 다른 밑의 제곱이므로, 같은 수에 닿는 데 걸음이 절반만 든다.
▸ 왜?
지수는 밑을 몇 번 쓰는지를 세므로, 제곱된 밑은 한 번에 두 걸음을 쓴다.
▸ 왜?
한 밑의 같은 두 거듭제곱은 지수도 같아야 하므로, 두 로그가 정확히 바뀐다.
세 부등식을 t 에 대해 풀기
부등식을 풀어 범위를 얻습니다.
두 로그 변은 t 가 커질 때 함께 커지므로, t 를 양쪽에서 붙잡아 주는 것은 고정된 변 3 뿐이다.
9.A-REI.B.3Convert To Algebra로그를 되돌리기
로그를 되돌립니다.
양변을 2의 지수로 올리면 로그가 풀리고, 한 번도 방향을 바꾸지 않는 함수는 부등호도 뒤집지 않는다.
11.F-BF.B.4Convert To Algebra경계값 두 개 확인하기
경계값은 납작해져 탈락합니다.
경계에서는 삼각형이 선분으로 무너지고, 선분에는 넓이가 없다.
7.G.A.2Extreme Principle범위 안의 정수 세기
범위 안의 정수를 세면 59입니다.
수직선 위에서 살아남은 값들이 끊김 없는 한 덩어리이므로, 양 끝을 빼고 울타리 기둥 몫으로 1을 더한다.
6.NS.C.6Make A Systematic List밑 4의 로그는 밑 2 로그의 정확히 절반이므로, 그 로그 하나를 t 라 부르면 삼각형 규칙이 t 의 단순한 범위로 바뀐다.
- 넓이 양수를 부등식으로 바꾸기
- 두 로그를 밑 2로 통일하기
- 세 부등식을 t 에 대해 풀기
- 로그를 되돌리기
- 경계값 두 개 확인하기
- 범위 안의 정수 세기