AMC 10 · 2020 · #11

학년 7 probability

유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Markov State Probability

probability-basicsymmetry-argumentcoordinate-geometryrecursive-sequencesystems-of-equations symmetry-argumentcaseworkidentify-subproblems ↑ 선수 지식: probability-basiccoordinate-geometry

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

개구리가 한 변이 4인 정사각형 안의 점 (1,2)에서 시작합니다. 한 걸음마다 위, 아래, 왼쪽, 오른쪽으로 각각 4분의 1의 확률로 한 칸씩 뜁니다. 정사각형의 변에 처음 닿으면 멈춥니다. 멈춘 곳이 세로 변일 확률을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac12$

(B)

$\frac 58$

(C)

$\frac 23$

(D)

$\frac34$

(E)

$\frac 78$

풀이 과정

전략 그림 그리기

도구 #1(그림): 정사각형 안의 5 × 5 격자점을 그리고 시작점 (1, 2)와 네 변을 표시. 도구 #15(다르게 정리): 정사각형의 대칭(반사)을 이용 — x ⇔ y 를 바꾸면 수직 변이 수평 변으로 바뀌므로 P_V(x,y) = 1 - P_V(y,x). 도구 #7(쪼개기): (1,2) 에서 한 번 점프하면 (0,2), (2,2), (1,1), (1,3) 중 하나로 가니까 각 부분 확률을 구한 뒤 전확률 법칙으로 합산. 도구 #3(가능성 지우기): 최종 분수를 다섯 선택지와 매칭.

1STEP 1

판을 그리고 목표 정하기

찾는 것은 세로 변에서 멈출 확률입니다.

시작 = (1, 2), 수직 변: x = 0, x = 4

2STEP 2

대각선 위의 점

대각선 위에서는 확률이 정확히 절반입니다.

P_V(x,x) = 1/2 → P_V(1,1) = P_V(2,2) = 1/2

3STEP 3

대칭으로 값 옮기기

뒤집으면 나머지 점의 값이 바로 나옵니다.

P_V(1, 3) = 1 - P_V(3, 1) = 1 - 1/2 = 1/2

4STEP 4

시작점의 식 세우기

시작점은 이웃 넷의 평균입니다.

P(1,2) = 1/4[P(0,2) + P(2,2) + P(1,3) + P(1,1)]

5STEP 5

이웃 값 채우기

이웃 하나는 이미 변 위에 있습니다.

P(0,2) = 1, P(2,2) = P(1,3) = P(1,1) = 1/2

6STEP 6

평균 계산하기

넷을 평균 냅니다.

P(1,2) = 1/4 · 5/2 = 5/8

7STEP 7

보기와 맞추기

확률은 8분의 5입니다.

5/8 → (B)

정답

5/8

출발점 (1, 2)는 가장 가까운 수직 변에서 한 칸, 수평 변에서 두 칸 떨어져 있으므로 답은 1/2 보다 살짝 크되 크게 벗어나면 안 됨. 실제 5/8 = 0.625는 1/2 바로 위 — 한쪽 수직 변에 가까운 정도와 잘 맞는 적당한 우위.

💡핵심 정리

이 AMC 12 문제는 사실 7학년 때 배운 확률만 알면 풀 수 있어요! y = x 대칭이 수직 변과 수평 변을 맞바꿔주니까 (1, 1), (2, 2), (1, 3) 같은 대각선 위 점에서는 강제로 P = 1/2. (1, 2) 에서 한 번 점프하면 네 경우 — (0, 2)는 바로 승리(P = 1), 나머지 셋은 대각선(P = 1/2 씩). 평균: 1/4(1 + 3/2) = 5/8, 답 (B).