AMC 10 · 2020 · #13

학년 11 algebra

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint

exponentsfraction-arithmeticlinear-diophantinefactorsbound-inequality-then-enumerate convert-to-algebrabound-inequality-then-enumeratecasework ↑ 선수 지식: exponentsfraction-arithmetic

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

2 이상인 세 정수가 있습니다. 어떤 수를 세 번 겹쳐 씌운 근호로 나타낸 식이 1이 아닌 모든 수에 대해 36제곱근의 25제곱과 같아집니다. 가운데 정수를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

풀이 과정

전략 대수로 바꾸기

도구 #13(대수로 바꾸기): 근호는 결국 분수 지수이므로 근호 탑 전체가 N 의 거듭제곱 하나로 접히고, 문제는 a, b, c 에 대한 방정식 하나가 됨. 도구 #7(쪼개기): 세 겹을 한 번에 펴려 하지 말고 안쪽부터 한 겹씩 벗기기. 도구 #14(극단의 원리): 허용된 최솟값 a = 2를 쓰면 방정식이 부등식이 되어 b 의 상한이 생기고, 선택지 다섯이 둘로 줄어듦. 도구 #3(가능성 지우기)과 도구 #6(추측·확인): 남은 두 후보를 정수 조건으로 검사하고, 최종 값을 다시 대입해 확인.

1STEP 1

근호를 지수로 바꾸기

근호를 지수로 다시 씁니다.

^k√(X) = X¹/k ⟹ ³⁶√(N²⁵) = N²5/36

2STEP 2

안쪽 한 겹 벗기기

가장 안쪽부터 한 겹 벗깁니다.

^b√(N^c√(N)) = (N^(c+1)/c)¹/b = N^(c+1)/bc

3STEP 3

바깥 한 겹 벗기기

바깥도 같은 방식입니다.

^a√(N^b√(Nsqrt[c]{N})) = N^(bc + c + 1)/abc

4STEP 4

두 지수 같게 놓기

양변의 지수를 같게 둡니다.

(bc + c + 1)/abc = 25/36

5STEP 5

분모 없애기

분모를 없애 정수 방정식으로 만듭니다.

36(bc + c + 1) = 25 abc, a, b, c ∈ Z, a, b, c ≥ 2

6STEP 6

상한 잡기

2 이상이라는 조건이 상한을 줍니다.

b ≤ (18(c+1))/7c ≤ 27/7 ＜ 4 ⟹ b ∈ {2, 3}

7STEP 7

작은 후보 지우기

작은 후보는 정수 해를 주지 못합니다.

b = 2 → c(25a - 54) = 18 → 조건을 만족하는 정수 c ≥ 2 없음

8STEP 8

남은 경우 풀기

남은 값은 3입니다.

b = 3 → c(25a - 48) = 12 → a = 2, c = 6 → b = 3 = (B)

정답

(a, b, c) = (2, 3, 6)을 접힌 지수에 도로 넣어 보면 분자는 bc + c + 1 = 18 + 6 + 1 = 25, 분모는 abc = 2 · 3 · 6 = 36이라 정확히 N²5/36 = ³⁶√(N²⁵). 약분 없이 25와 36이 그대로 나온다는 점이 이 조합이 의도된 답이라는 강한 신호입니다. 크기 감각으로도 맞습니다: 25/36 ≈ 0.69는 2/3 보다 조금 크고, 바깥 제곱근만으로 이미 절반이 깎이니 안쪽 두 겹이 약 1.39를 되돌려 줘야 하는데, 그건 3과 6 같은 작은 지수로만 가능합니다.

💡핵심 정리

이 AMC 12 문제는 11학년에서 배우는 ^k√(X) = X¹/k 하나면 충분합니다. 근호 탑을 안쪽부터 한 겹씩 벗기면 N^(bc+c+1)/abc 라는 거듭제곱 하나로 접히고, 남는 건 (bc+c+1)/abc = 25/36 뿐입니다. 지수는 값을 깎기만 하므로 a ≥ 2가 b ＜ 4를 강제하고, 정수 해가 남는 건 b = 3 일 때뿐 — a = 2, b = 3, c = 6 에서 bc+c+1 = 25, abc = 36이 정확히 들어맞습니다. 답은 (B).

근호를 지수로 바꾸기
가장 안쪽 한 겹 벗기기
바깥 한 겹 벗기기
양변의 지수를 같게 두기
분모 없애기
a ≥ 2로 b 의 상한 잡기
b = 2 지우기
b = 3 인 경우 풀기