AMC 10 · 2020 · #2
학년 8 geometry-2d
답을 골라 클릭하세요.
선분이 열 개나 되는 그림은 구해야 할 길이가 하나가 아니라 열 개다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 그림을 낱개 선분으로 나누면 각각의 길이는 뻔해진다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 글자를 왼쪽에서 오른쪽으로 훑으면 빠뜨리는 선분도, 교차점에서 두 번 세는 선분도 없다. 그다음 도구 #15(다르게 정리하기)로 그 목록을 격자와 나란한 것과 기울어진 것, 두 무더기로 다시 나눈다. 앞 무더기는 모두 정수 길이이고 뒤 무더기는 모두 √(2)의 배수여서, 각 무더기 안에서는 깔끔히 더해지지만 서로는 합쳐지지 않기 때문이다. 도구 #3(가능성 지우기)은 예비로 남겨 둔다. 선택지들이 √(2)의 계수에서 모두 다르므로, 기울어진 무더기만으로도 답이 정해질 수 있다.
선분마다 양 끝점 적기
선분마다 양 끝점을 적습니다.
선분마다 양 끝에 이름을 붙이면 그림이 목록이 되고, 목록은 놓칠 수가 없다.
6.NS.C.8Make A Systematic List격자와 나란한 것과 기울어진 것으로 나누기
나란한 것과 기울어진 것으로 나눕니다.
격자선을 따라가면 길이는 좌표의 단순한 뺄셈이지만, 벗어나면 결코 그렇지 않다.
6.NS.C.8Organize Information In More Ways격자와 나란한 길이 더하기
나란한 길이는 그냥 더하면 됩니다.
정수 길이 조각들은 그림의 쉬운 절반이니 먼저 치워 버리고 어려운 부분만 남긴다.
3.MD.D.8Identify Subproblems피타고라스 정리로 기울기 재기
기울어진 것은 피타고라스로 잽니다.
격자 위의 모든 기울기에는 격자선에서 바로 셀 수 있는 직각삼각형이 공짜로 딸려 온다.
격자 위의 모든 기운 선분에는 격자선에서 세어 낼 수 있는 두 변을 지닌 직각삼각형이 딸려 온다.
▸ 왜?
그 직각삼각형에서 기운 변 위의 정사각형은 두 변 위의 정사각형을 더한 것과 같다.
▸ 왜?
도형 전체는 획을 이어 붙인 것 그대로이므로, 그 길이를 더하면 전체가 된다.
두 무더기 합치기
두 무더기를 합치면 13 더하기 4루트2입니다.
√(2)를 세는 대상으로 보면 기울기들은 사과처럼 그냥 더해진다.
6.EE.A.3Identify Subproblems그림은 낱개 선분으로 쪼갠 뒤 두 무더기로 나누자 — 곧은 것은 정수로 더하고, 기울어진 것은 피타고라스 정리로 재어 √(2)의 배수로 세면 된다.
- 선분마다 양 끝점 적기
- 격자와 나란한 것과 기울어진 것으로 나누기
- 격자와 나란한 길이 더하기
- 피타고라스 정리로 기울기 재기
- 두 무더기 합치기