AMC 10 · 2020 · #23

학년 7 probability

유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Numeric Operation Tree

probability-basicexpected-valuecaseworksystematic-enumerationconditional-probability caseworkidentify-subproblemscomplementary-counting ↑ 선수 지식: probability-basicexpected-value

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

제이슨이 공정한 육면체 주사위 세 개를 굴리고 결과를 본 뒤, 합이 정확히 7이 될 확률을 최대로 만들도록 다시 굴릴 주사위를 고릅니다. 처음 굴린 결과가 무작위일 때, 다시 굴리는 것이 정확히 두 개가 되는 확률을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{7}{36}$

(B)

$\frac{5}{24}$

(C)

$\frac{2}{9}$

(D)

$\frac{17}{72}$

(E)

$\frac{1}{4}$

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

도구 #7(작은 문제로 쪼개기): 네 전략 (재굴림 0, 1, 2, 3)의 승리 확률을 각각 계산해 비교. 도구 #9(더 쉬운 문제): 주사위 두 개의 합이 s 가 되는 경우 수는 s ≤ 7 일 때 s-1 이라는 작은 규칙. 도구 #2(빠짐없이 나열): 정렬 (a, b, c), a ≤ b ≤ c 가 도출된 조건 만족하는 것들을 순열 수까지 곱해 나열. 도구 #3(가능성 지우기): 재굴림 2 vs. 재굴림 1 비교로 큰 영역 제거, 재굴림 2 vs. 재굴림 3으로 a ∈ {1, 2, 3}으로 더 제한.

1STEP 1

세 개 다시 굴리기

세 개를 굴릴 때의 확률은 낮습니다.

P(재굴림 3) = 15/216 = 5/72

2STEP 2

하나만 다시 굴리기

가능하면 6분의 1로 꽤 높습니다.

P(재굴림 1) = 1/6 & a+b ≤ 6 ; 0 & a+b ≥ 7

3STEP 3

두 개 다시 굴리기

남긴 주사위가 작을수록 유리합니다.

P(재굴림 2) = (6 - a)/36

4STEP 4

두 개가 이기는 조건

하나만 굴리는 선택이 막혀야 합니다.

(6-a)/36 ＜ 6/36 = 1/6 → a+b ≥ 7 필요

5STEP 5

남길 주사위의 범위

남길 수 있는 값이 세 가지뿐입니다.

a ∈ {1, 2, 3}

6STEP 6

처음 합이 7이 아님 확인

이 경우 처음 합은 7이 될 수 없습니다.

a + b ≥ 7 → a+b+c ≥ 8 → 초기 합 ≠ 7

7STEP 7

경우 세기

각 값마다 경우를 셉니다.

|a=1|=3, |a=2|=12, |a=3|=27

8STEP 8

확률 구하기

나누면 36분의 7입니다.

P = 42/216 = 7/36 → (A)

정답

7/36

감각 점검. 42/216의 gcd(42, 216) = 6으로 약분하면 7/36. 정렬 삼중쌍은 a 가 유일하므로 중복 없음. 검증 (1,6,6): a=1, 재굴림 2는 1 유지, 쌍 합 6 필요, 순서 있는 쌍 5 개 ((1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)), 확률 5/36 ≈ 0.139. 재굴림 1 대안은 (6,6) 유지, 합 12 ＞ 6, 불가 — 재굴림 1 제거 확인. 재굴림 3은 5/72 ≈ 0.069, 더 낮음. 재굴림 0은 합 13 ≠ 7, 0. 재굴림 2가 승리. 검증 (4,5,6): a=4 ∉ {1,2,3} — 여기선 재굴림 2가 최적 아님. 재굴림 1 가능? a+b = 9 ＞ 6, 불가. 재굴림 3은 5/72. 재굴림 2 (4 유지)는 (6-4)/36 = 2/36 = 4/72 ＜ 5/72 — 재굴림 3이 이김. 필터 a ≤ 3 확인.

💡핵심 정리

이 AMC 12 문제는 이미 배운 7학년 주사위 확률과 부등식 비교만 있으면 풀려요 — 두 주사위 재굴림이 최적이려면 (1) 모든 두 주사위 합이 6 초과 (a+b ≥ 7), (2) 가장 작은 주사위가 {1,2,3} 이어야 하고, 그런 정렬 순서쌍 42 개 / 216으로 42/216 = 7/36.