AMC 10 · 2020 · #25

학년 9 algebra

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floor-functionquadratic-equationsvieta-formulastriangular-numbersbound-inequality-then-enumerate easier-related-problemconvert-to-algebrawork-backwards ↑ 선수 지식: floor-functionquadratic-equations

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

어떤 양의 기약분수를 고르되, 실수 x의 바닥값과 소수 부분의 곱이 그 분수와 x의 제곱의 곱과 같아지는 모든 x의 합이 정확히 420이 되게 합니다. 그 분수의 분자와 분모의 합을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

245

(B)

593

(C)

929

(D)

1331

(E)

1332

풀이 과정

전략 더 쉬운 문제로 줄이기

도구 #4(변수 도입하기): x 의 두 조각을 n = ⌊ x ⌋, f = {x}로 이름 붙이면 바닥함수 방정식이 평범한 대수식이 된다. 도구 #3(가능성 지우기): 부호만 따져 보면 x ≤ 0 인 경우가 모두 사라지므로 n ≥ 1만 살펴보면 된다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기): 여기가 핵심이다. 소수 부분을 n 단위로 재어 f = nu 로 두면 n 이 완전히 약분되어, 무한히 많던 경우들이 n 이 없는 단 하나의 식 u = a(1+u)²로 합쳐진다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기): 그러면 해는 n = 1, 2, …, N 에 대한 등차 목록 x = n(1+u)가 되고, 주어진 합 420은 N 과 u 에 대한 방정식 하나가 된다. 도구 #14(극단의 원리): N 은 경계로 정의된다. 소수 부분이 1에 닿기 직전의 마지막 번호이며, 그 경계가 (N+1)²을 제곱수 하나만 들어가는 좁은 틈에 가둔다. 도구 #11(거꾸로 풀기): u 를 알아냈으면 u = a(1+u)²를 거꾸로 풀어 a 를 되찾는다.

1STEP 1

x를 두 조각으로 쪼개기

x를 바닥값과 소수 부분으로 나눕니다.

n f = a(n+f)², 0 ≤ f ＜ 1

2STEP 2

0 이하의 x 버리기

부호를 보면 양수만 남습니다.

x ≤ 0 → nf ≤ 0 ＜ ax² (x ≠ 0) ⟹ n ≥ 1이고 0 ＜ f ＜ 1

3STEP 3

바닥값 단위로 재기

바닥값 단위로 재면 식이 하나가 됩니다.

u = a(1+u)² ⟺ a u² + (2a - 1)u + a = 0

4STEP 4

역수 관계인 두 근

두 근이 역수 관계라 하나만 유효합니다.

u₁ u₂ = a/a = 1 → {u₀, 1/u₀}; u ＜ 1 조건이 정확히 하나만 남긴다

5STEP 5

해를 나열하고 더하기

해가 등차수열처럼 늘어섭니다.

(1+u) · (N(N+1))/2 = 420, Nu ＜ 1 ≤ (N+1)u

6STEP 6

부등식으로 조이기

두 부등식이 개수를 하나로 확정합니다.

840 ＜ (N+1)² ≤ 841 → N = 28, u = 1/29

7STEP 7

치환을 되돌리기

되돌리면 합은 929입니다.

a = u/((1+u)²) = 29/900, gcd(29, 900) = 1 → p + q = 929 → (C)

정답

929

네 가지 확인. (1) 대입: a = 29/900과 u = 1/29는 a(1+u)² = 29/900 · 900/841 = 29/841 = 1/29 = u 를 만족하므로 u 는 정말 근이다. (2) 직접 나열: 주장한 해는 n = 1, …, 28에 대한 x = 30n/29이고, 가장 큰 것은 840/29 ≈ 28.966으로 바닥값이 28, 소수 부분이 28/29 ＜ 1이라 유효하다. 반면 n = 29는 {x} = 29/29 = 1을 강요하는데 이는 소수 부분이 될 수 없으므로, 목록은 정확히 끊겨야 할 자리에서 끊긴다. (3) 합: 30/29 · (28 · 29)/2 = 30/29 · 406 = 420으로 조건과 정확히 일치하고, x = 0을 더해도 달라지지 않는다. (4) 유일성: 조임 840 ＜ (N+1)² ≤ 841을 만족하는 정수는 하나뿐이므로, 합 420을 만들어 내는 다른 a 는 존재하지 않는다. 답은 단지 모순이 없는 정도가 아니라 강제된 값이다. 덧붙여 a = u/((1+u)²)는 u 를 1/u로 바꾸어도 변하지 않으므로, 버린 역수 근조차 같은 a 를 가리킨다. p + q = 929 이므로 답은 (C) 다.

💡핵심 정리

소수 부분을 n 곱하기 비율 u 로 쓰면 n 이 약분되어 u 하나가 모든 해 x = n(1+u)를 만들어 내고, 합 420이 (N+1)²을 840과 841 사이에 가두어 u = 1/29, a = 29/900을 강제한다.

x 의 두 조각에 이름 붙이기
0 이하의 x 를 모두 버리기
f 를 n 단위로 재기
역수 관계인 두 근 중 하나만 살아남기
해를 나열하고 더하기
부등식 두 개로 N 을 조이기
치환을 거꾸로 되돌리기