AMC 10 · 2020 · #4
학년 4 number-theory digit-constraintsdivisibility-rulessystematic-enumerationmultiplesparity caseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: divisibility-rulesdigit-constraints
📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
1000부터 9999까지의 네 자리 정수 중에서 모든 자릿수가 짝수이면서 동시에 5의 배수인 것이 몇 개인지 세세요.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
80
(B)
100
(C)
125
(D)
200
(E)
500
풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기
각 자리는 서로 독립적인 선택 — 도구 #7로 네 자리를 네 개의 작은 부분 문제로 분해. 도구 #2로 각 자리에서 허용되는 숫자를 빠짐없이 나열, 도구 #3으로 금지된 숫자(홀수, 천의 자리 0)를 제거. 마지막에 네 개의 가짓수를 곱하면 끝.
1STEP 1
끝자리 정하기
두 조건이 겹쳐 끝자리는 0뿐입니다.
일의 자리 = 0 (1가지)
두 조건이 겹쳐 단 하나의 숫자만 남음.
4.OA.B.4Eliminate Possibilities2STEP 2
맨 앞자리 세기
앞자리는 0이 될 수 없습니다.
천의 자리 ∈ {2, 4, 6, 8} (4가지)
네 자리 수는 맨 앞이 0이 아니어야 함.
2.NBT.A.1Make A Systematic List3STEP 3
백의 자리 세기
가운데 자리는 다섯 가지입니다.
백의 자리 ∈ {0, 2, 4, 6, 8} (5가지)
맨 앞이 아닌 자리에는 어떤 짝수든 가능.
2.NBT.A.1Make A Systematic List4STEP 4
십의 자리 세기
십의 자리도 마찬가지입니다.
십의 자리 ∈ {0, 2, 4, 6, 8} (5가지)
맨 앞 제약이 없으니 다섯 개 모두 사용 가능.
2.NBT.A.1Make A Systematic List5STEP 5
곱하기
네 자리의 가짓수를 곱합니다.
4 × 5 × 5 × 1 = 100
독립적인 선택은 곱셈 — 네 칸짜리 가지치기 트리.
서로 독립인 자릿수 선택은 곱해지는데, 네 칸짜리 결정 나무와 같다.
▸ 왜?
각 자리는 다른 자리와 상관없이 채워지므로, 모든 조합이 가능하고 개수가 곱해진다.
독립된 선택은 곱해진다첫 선택이 a가지이고 그 각각마다 두 번째가 b가지면, 짝을 만드는 방법은 a 곱하기 b가지다.
▸ 왜?
수는 정해진 자리에 놓인 자릿수들이므로, 자릿수를 고르는 것이 곧 수를 고르는 것이다.
자리값 묶기1이 열이면 10 하나, 10이 열이면 100 하나 — 각 자리는 아래 자리 열 개를 묶은 것이다.
6STEP 6
보기와 맞추기
결과는 100입니다.
N = 100 → (B)
답안에서 일치하는 보기 찾기.
3.OA.A.3Eliminate Possibilities정답
100
크기 감각으로 확인. 제약이 없으면 네 자리 수는 9 · 10 · 10 · 10 = 9000 개. '모두 짝수'만 적용하면 4 · 5 · 5 · 5 = 500 (이게 보기 E — 단, 5의 배수 조건을 빠뜨림). 여기서 5의 배수 조건이 일의 자리를 다섯 가지에서 한 가지로 줄이므로 500 / 5 = 100. 답 100은 보기 중간에 위치하며 두 경로 모두로 확인됨.
💡핵심 정리
이 AMC 12 문제는 사실 4학년에 배운 '5의 배수는 일의 자리가 0 이나 5'와 자릿값만 알면 풀 수 있어요 — 일의 자리는 0 하나, 천의 자리는 {2,4,6,8} 네 가지, 가운데 두 자리는 짝수 다섯 가지씩, 그래서 4 × 5 × 5 × 1 = 100.