AMC 10 · 2020 · #5
학년 6 arithmetic sequences-arithmeticmean-median-mode-rangesystematic-enumeration identify-subproblemseasier-related-problem ↑ 선수 지식: sequences-arithmetic
📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
마이너스 10부터 14까지의 정수 25개를 5 곱하기 5 정사각형에 넣되 모든 행, 모든 열, 두 대각선의 합이 같아지게 합니다. 그 공통 합을 구하세요.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
2
(B)
5
(C)
10
(D)
25
(E)
50
풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기
두 개의 깔끔한 부분 문제로 분해. 부분 A: 25 개 수의 총합 구하기. 부분 B: 각 행이 같은 C 인데 5 행이 격자 전체를 채우므로 총합 = 5C. 도구 #7로 두 조각을 드러내고, 도구 #9 (더 쉬운 문제)로 -10과 10, -9와 9 … 식으로 짝을 지어 한 번에 합을 정리. 도구 #3으로 보기 중 하나를 골라냄.
1STEP 1
대칭 부분 상쇄하기
마주 보는 수들이 서로 지웁니다.
(-10) + (-9) + … + 9 + 10 = 0
0을 기준으로 대칭인 짝은 서로 상쇄 — 균형 잡힌 구간의 합을 가장 빨리 구하는 길.
6.NS.C.5Solve An Easier Related Problem2STEP 2
남는 수 더하기
남는 네 수만 더하면 됩니다.
11 + 12 + 13 + 14 = 50
11+14 = 25, 12+13 = 25로 짝을 지어 25+25 = 50.
4.NBT.B.4Solve An Easier Related Problem3STEP 3
전체 합과 행의 합
전체 합은 행의 합의 다섯 배입니다.
총합 = 5C = 50
격자를 채우는 다섯 개의 같은 조각은 각각 총합의 1/5.
격자 전체를 채우는 같은 다섯 조각은 저마다 총합의 5분의 1이어야 한다.
▸ 왜?
격자는 다섯 줄을 모은 것 그대로이므로, 줄의 합이 더해져 전체 합이 된다.
전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
▸ 왜?
정해진 합의 같은 몫은 그 합을 몫의 개수로 나눈 것이다.
평균은 합을 개수로 나눈 것산술평균은 합을 값의 개수로 균등하게 나눈 것: 평균 = 합 ÷ 개수 (따라서 합 = 평균 × 개수).
4STEP 4
나누기
다섯으로 나눕니다.
C = 50/5 = 10
양변을 5로 나눔.
3.OA.A.3Identify Subproblems5STEP 5
보기와 맞추기
공통 합은 10입니다.
C = 10 → (C)
일치하는 보기 고르기. 대칭 조건이 더 있어도 C 값은 바뀌지 않음.
4.NBT.A.2Eliminate Possibilities정답
10
평균으로도 확인. 25 개 수의 평균은 50/25 = 2, 한 행에 5 개의 수가 들어가므로 행 합 ≈ 5 · 2 = 10. 일치. -10…14의 수치 중심도 (-10 + 14)/2 = 2 이므로 5 · 2 = 10은 균형 잡힌 행에서 자연스럽게 나오는 값.
💡핵심 정리
이 AMC 12 문제는 사실 6학년 '음수와 양수 상쇄'와 균등 분할만 알면 풀 수 있어요 — 25 개 수의 합이 50, 다섯 행 합이 모두 C 라 5C = 50이고 C = 10.