AMC 10 · 2020 · #9
학년 11 algebra답을 골라 클릭하세요.
tan(2x) = cos(x/2)를 대수적으로 풀어내는 방법은 없다 — 양변의 주기도 모양도 다르기 때문. 그래서 도구 #1(그림 그리기): y = tan(2x)와 y = cos(x/2)를 같은 좌표평면에 그려 교점을 센다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기): tan(2x)의 점근선이 [0, 2π]를 여러 가지(branch)로 잘라 주고, 각 가지가 독립적인 작은 세기 문제가 된다. 도구 #14(극단의 원리): 각 가지에서는 양 끝의 행동만 보면 충분하다 — 한쪽이 -∞, 다른 쪽이 +∞ 로 가면 교차가 강제된다. 도구 #3(가능성 지우기): 가지별 개수를 더해 맞는 선택지 하나를 고른다.
방정식을 두 그래프로 바꾸기
방정식을 두 그래프의 교점으로 봅니다.
양변이 다 까다로운 방정식도 두 곡선 그림으로 바꾸면 교점 세기만 남는다.
11.A-REI.D.11Draw A Diagramtan(2x)의 점근선 찾기
탄젠트의 점근선을 찾습니다.
입력을 두 배로 하면 주기가 절반이 되어, 원래라면 두 개뿐일 점근선이 네 개 들어간다.
입력을 두 배로 하면 주기가 절반이 되므로, 같은 창에 되풀이가 두 배로 들어간다.
▸ 왜?
무늬는 한 주기가 지나면 처음으로 돌아오므로, 주기가 간격을 정한다.
▸ 왜?
주기는 한 바퀴의 정해진 몫이므로, 각을 배로 늘리면 그 몫도 그대로 배가 된다.
구간 위에서 코사인 추적하기
코사인은 구간에서 완만하게 움직입니다.
입력을 절반으로 하면 주기가 두 배가 되어, 이 구간에서는 한 번 내려가는 시간밖에 없다 — 출렁임이 없다.
11.F-BF.B.3Draw A Diagram구간을 다섯 가지로 쪼개기
구간이 다섯 가지로 쪼개집니다.
올라가는 곡선에서 내려가는 곡선을 빼면 오직 위로만 0을 통과하고, 가지마다 기회는 한 번뿐이다.
9.F-IF.B.4Identify Subproblems가운데 세 가지는 각각 한 번씩 교차
가운데 세 가지는 각각 한 번씩 교차합니다.
세로 방향 전체를 훑는 곡선은 -1부터 1 까지밖에 안 되는 띠를 반드시 지나간다.
9.F-IF.B.4Extreme Principle첫 번째 가지를 양 끝에서 확인
첫 가지를 양 끝에서 확인합니다.
탄젠트가 코사인 아래에서 시작해 위에서 끝났다면, 중간 어딘가에서 둘은 같았다.
11.F-TF.A.2Extreme Principle마지막 가지를 양 끝에서 확인
마지막 가지도 확인합니다.
코사인은 -1로 바닥을 찍었고 탄젠트는 0까지 되돌아왔으니, 구간이 닫히기 전에 탄젠트가 코사인을 앞지른다.
11.F-TF.A.2Extreme Principle가지별 개수를 더해 선택지 고르기
가지별 개수를 더합니다.
가지 다섯 개, 가지마다 교차 한 번 — 개수는 곧 점근선이 만든 조각의 수다.
11.A-REI.D.11Eliminate Possibilities표본값으로 검산
표본값으로 검산하면 5입니다.
연속인 조각에서 부호가 뒤집혔다는 것은 그 안에 교점이 실제로 있다는 확실한 증거다.
9.F-IF.B.4Eliminate Possibilitiestan(2x) = cos(x/2)를 풀려고 하지 말고 그려 보세요. tan(2x)의 점근선이 π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4에 놓여 [0, 2π]를 5 개의 가지로 자르고, 각 가지에서 올라가는 탄젠트가 [-1, 1]에 갇힌 채 내려가는 cos(x/2)를 정확히 한 번 만납니다. 가지를 세면 그게 곧 답이에요: 5, 선택지 (E).
- 방정식을 두 그래프로 바꾸기
- tan(2x)의 점근선 찾기
- 구간 위에서 코사인 추적하기
- 구간을 다섯 가지로 쪼개기
- 가운데 세 가지는 각각 한 번씩 교차
- 첫 번째 가지를 양 끝에서 확인
- 마지막 가지를 양 끝에서 확인
- 가지별 개수를 더해 선택지 고르기
- 표본값으로 검산