AMC 10 · 2020 · #1
학년 8 arithmetic perfect-squaressequences-arithmeticpattern-recognitionorder-of-operations pattern-recognitionidentify-subproblems ↑ 선수 지식: perfect-squaresorder-of-operations
📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
제곱근 네 개를 더합니다. 첫 근호 안은 1, 둘째는 1 더하기 3, 셋째는 1 더하기 3 더하기 5, 넷째는 1 더하기 3 더하기 5 더하기 7입니다. 전체 합을 가장 간단한 꼴로 구하세요.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
5
(B)
$4 + \sqrt{7} + \sqrt{10}$
(C)
10
(D)
15
(E)
$4 + 3\sqrt{3} + 2\sqrt{5} + \sqrt{7}$
풀이 과정
전략 패턴 찾기
식이 복잡해 보이지만 사실은 작은 계산 네 개를 쌓아 놓은 것이므로, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)에 따라 근호를 하나씩 처리한다. 근호 안의 합을 계산하면 1, 4, 9, 16이 되는데, 도구 #5(패턴 찾기)로 이들이 제곱수임을 알아채고 그 이유까지 밝힌다: 1부터 연속한 홀수를 더하면 언제나 제곱수가 된다. 그러면 모든 근호가 자연수가 되고, 도구 #3(가능성 지우기)으로 근호가 남아 있는 두 선택지를 지울 수 있다.
1STEP 1
근호 안부터 먼저 더하기
근호 안부터 먼저 더합니다.
√(1) + √(4) + √(9) + √(16)
근호는 뚜껑이다: 그 아래의 덧셈을 먼저 끝내고 나서 다음으로 넘어간다.
1.OA.C.6Identify Subproblems2STEP 2
제곱수임을 알아채기
홀수의 합은 언제나 제곱수입니다.
1 + 3 + 5 + … + (2n-1) = n²
연속한 홀수는 정사각형을 키우는 ㄱ자 테두리이므로, 그 누적 합은 제곱수가 된다.
연속한 홀수는 정사각형을 감싸며 커지는 ㄱ자 테두리이므로, 그 누적 합은 제곱수가 된다.
▸ 왜?
홀수는 같은 간격으로 오르므로, 새 홀수마다 앞의 정사각형을 가지런히 감싼다.
일정한 간격이면 어느 항이든 닿는다목록이 매번 같은 양만큼 커지면 어떤 항이든 처음 값에 그 간격을 반복해 더한 것이므로, 중간 항을 다 적을 필요가 없다.
▸ 왜?
첫 항과 마지막 항을 짝지으면 안쪽으로 짝지은 것과 같은 합이 되므로, 총합은 개수 곱하기 가운데 값이다.
양 끝에서 짝지으면 합이 일정하다고르게 늘어선 목록에서 가장 작은 것과 가장 큰 것, 그다음끼리 짝지으면 언제나 같은 합이 되므로 긴 덧셈이 곱셈이 된다.
3STEP 3
제곱근을 하나씩 계산하기
제곱근이 깔끔한 정수가 됩니다.
√(k²) = k → √(1)=1, √(4)=2, √(9)=3, √(16)=4
제곱근은 제곱을 되돌리므로, 제곱수의 제곱근은 제곱하기 전의 수이다.
8.EE.A.2Identify Subproblems4STEP 4
네 자연수를 더하기
네 수를 더하면 10입니다.
1 + 2 + 3 + 4 = 10
근호가 하나도 남지 않았다면 답은 정수 선택지 가운데 하나일 수밖에 없다.
2.NBT.B.5Eliminate Possibilities정답
10
정확한 계산을 믿기 전에 어림해 보자. 가장 큰 항이 √(16)=4이고 가장 작은 항이 √(1)=1이므로, 1과 4 사이의 네 항을 더하면 합은 4와 16 사이에 있어야 한다. 10은 이 범위 안에 무리 없이 들어간다. 반면 (A) 5는 이미 한 항이 4인 네 항의 합으로는 너무 작고, (D) 15는 거의 모든 항이 최댓값이어야 가능한 값이다. 각 근호를 직접 확인해도 1²=1, 2²=4, 3²=9, 4²=16이므로 네 항 모두 정확한 자연수이고, 따라서 근호가 남아 있는 (B)와 (E)는 불가능하다.
💡핵심 정리
홀수를 순서대로 더하면 언제나 제곱수가 되므로, 그 제곱근들은 그냥 자연수가 되어 바로 더할 수 있다.
- 근호 안부터 먼저 더하기
- 제곱수임을 알아채기
- 제곱근을 하나씩 계산하기
- 네 자연수를 더하기