AMC 10 · 2020 · #13

학년 11 algebra

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

logarithm-propertiesnested-radical-denestingexponentsperfect-squares convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: logarithm-propertiesexponents

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

밑이 2인 6의 로그와 밑이 3인 6의 로그를 더한 값의 제곱근을 구해 다섯 보기 중에서 고르세요. 두 로그는 밑이 다르지만 진수는 같습니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

$\sqrt{\log_5{6}}$

(C)

(D)

$\sqrt{\log_2{3}}+\sqrt{\log_3{2}}$

(E)

$\sqrt{\log_2{6}}+\sqrt{\log_3{6}}$

풀이 과정

전략 변수 도입하기

두 로그가 서로 다른 밑에 묶여 있는 동안에는 아무것도 간단해지지 않으므로, 첫 수는 곱의 로그 성질로 각각을 쪼개는 것이다. 그러면 각 로그에서 1이 하나씩 떨어져 나오고 log₂ 3과 log₃ 2만 남는다. 이 둘은 서로 역수인데, a와 b라는 짧은 이름을 붙이면 그 사실이 곧바로 보인다. 그리고 ab=1이라는 사실이 바로 상수 2를 2√(ab)로 바꿔주는 열쇠다. 그렇게 치환하면 근호 안은 a+2√(ab)+b가 되어 숨어 있던 완전제곱이 드러나고, 제곱근을 어림하지 않고 깔끔하게 벗겨낼 수 있다. 이름을 붙이는 행동이 숨은 제곱을 보이게 만든다.

1STEP 1

곱의 성질로 쪼개기

각 로그가 1 더하기 무언가가 됩니다.

log₂ 6+log₃ 6=(1+log₂ 3)+(1+log₃ 2)=2+log₂ 3+log₃ 2

2STEP 2

남은 두 로그에 이름 붙이기

둘이 서로 역수라 곱이 1입니다.

a=log₂ 3, b=log₃ 2=1/a, ab=1, log₂ 6+log₃ 6=a+b+2

3STEP 3

숨은 완전제곱 찾기

합이 완전제곱 꼴이 됩니다.

a+b+2=a+2√(ab)+b=(√(a)+√(b))²

4STEP 4

제곱근 벗기기

벗기면 두 제곱근의 합이 남습니다.

√(log₂ 6+log₃ 6)=√((√(a)+√(b))²)=√(a)+√(b)=√(log₂ 3)+√(log₃ 2)

정답

√(log₂{3})+√(log₃{2})

수치로 빠르게 확인해도 일치한다. log₂ 3≈ 1.585, log₃ 2≈ 0.631이므로 근호 안은 약 2+1.585+0.631=4.216이고 그 제곱근은 약 2.053이다. 선택지 (D)는 √(1.585)+√(0.631)≈ 1.259+0.794≈ 2.053으로 같은 값이다. 나머지는 맞지 않는다. 1과 2는 너무 작고, √(log₅ 6)≈ 1.055는 훨씬 더 작으며, √(log₂ 6)+√(log₃ 6)≈ 1.608+1.277≈ 2.885는 너무 크다. 마지막 것은 근호를 합에 나눠서 씌우는 함정이다. 양수 x, y에 대해 √(x+y)는 결코 √(x)+√(y)가 아니며, 오른쪽을 제곱하면 2√(xy)가 더 남기 때문이다.

💡핵심 정리

두 수의 곱이 1이면 그 합에 2를 더한 값은 완전제곱이므로, 계산기를 꺼내기 전에 (√(a)+√(b))² 꼴을 먼저 찾아보자.

곱의 로그 성질로 각각 쪼개기
남은 두 로그에 이름 붙이기
숨어 있는 완전제곱 찾기
제곱근을 벗기고 선택지와 맞추기

곱의 성질로 쪼개기

남은 두 로그에 이름 붙이기

숨은 완전제곱 찾기

제곱근 벗기기

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