AMC 10 · 2020 · #14

학년 5 logic

유형 Pair-Sum Invariant └ 세부 유형 Forbidden-Complement Selection

symmetry-argumentinvariant-monovariantinterval-arithmetic symmetry-argumentpattern-recognition ↑ 선수 지식: symmetry-argumentparity

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

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문제

두 사람이 0부터 어떤 정수까지의 닫힌 구간에 실수를 번갈아 놓습니다. 그 정수는 4보다 큽니다. 먼저 두는 사람은 어디든 놓을 수 있습니다. 그 뒤로는 이미 놓인 모든 수에서 1보다 멀리 떨어진 곳에만 놓을 수 있습니다. 놓을 곳이 없는 사람이 집니다. 최선을 다할 때 누가 이기는지 정하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

Bela will always win.

(B)

Jenn will always win.

(C)

Bela will win if and only if $n$ is odd.

(D)

Jenn will win if and only if $n$ is odd.

(E)

Jenn will win if and only if $n>8$.

풀이 과정

전략 그림 그리기

도구 #1 (그림): 수직선 위에 [0, n]을 그리면 중점 n/2에 대한 좌우 대칭이 곧바로 보입니다. 이 대칭이 핵심 — Bela 가 정중앙을 먼저 두면 Jenn 의 모든 수에 대해 그 거울상이 Bela 에게 남아 있습니다. 도구 #9 (더 쉬운 문제): n = 5와 n = 6 같은 작은 경우를 수직선에서 직접 돌려보면 홀짝 상관없이 거울 전략이 통함을 확인. 도구 #3 (지우기): 선택지가 n 의 홀짝으로 갈리므로 홀수·짝수 한 번씩 Bela 가 이기면 (B), (C), (D), (E)가 모두 죽고 (A)만 남습니다.

1STEP 1

거울 대응 정의하기

구간에 거울 대응을 정의합니다.

거울(x) = n - x, x ∈ [0, n]

2STEP 2

가운데를 먼저 잡기

먼저 두는 사람이 정확히 가운데를 잡습니다.

Bela 의 첫 수 = n/2; Jenn 의 x 에 대해 n - x

3STEP 3

거울 수가 언제나 합법인지 확인

거울 수가 언제나 합법임을 확인합니다.

|(n - x) - x| = |n - 2x| ＞ 1 (x ≠ n/2)

4STEP 4

먼저 막히지 않음

상대가 둘 수 있으면 나도 둘 수 있습니다.

Jenn 이 둔다 → Bela 에게 거울 수가 있다 → Bela 가 먼저 막히지 않음

5STEP 5

작은 값으로 확인

작은 값에서도 확인됩니다.

n = 5: 2.5 선택; n = 6: 3 선택

6STEP 6

승자 정하기

답은 먼저 두는 사람이 항상 이긴다입니다.

n = 5 → Bela; n = 6 → Bela → (A)

정답

Bela가 항상 이긴다.

거울 전략은 좌우 대칭 판 위의 2인 게임에서 고전적인 논법이며, 선수에게 유리합니다 — 유일한 고정점인 중앙을 차지할 수 있기 때문입니다. (A) Bela 항상 승은 "먼저 두기 + 활용 가능한 대칭 = 필승" 이라는 직관과 일치합니다.

💡핵심 정리

이 AMC 12 문제는 5학년 때 배운 수직선 대칭만 알면 풀 수 있어요 — Bela 가 정중앙을 먼저 두고, 그 다음엔 Jenn 의 수를 중앙 기준으로 거울처럼 따라 둡니다. 구간이 대칭이라 Jenn 의 모든 합법 수에 거울 답이 있어 Jenn 이 항상 먼저 막혀요. 답은 (A).