AMC 10 · 2020 · #16

학년 7 probability

유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Markov State Probability

probability-basicconditional-probabilitysymmetry-argumentfraction-arithmetic easier-related-problemcaseworksymmetry-argument ↑ 선수 지식: probability-basicconditional-probability

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

항아리에 빨간 공 하나와 파란 공 하나로 시작합니다. 다음 과정을 네 번 반복합니다. 항아리에서 공을 무작위로 하나 뽑고, 옆 상자에서 같은 색 공을 하나 꺼내, 두 공을 모두 항아리에 넣습니다. 네 번 뒤 항아리에는 공이 여섯 개 있습니다. 빨강이 정확히 셋, 파랑이 정확히 셋일 확률을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac16$

(B)

$\frac15$

(C)

$\frac14$

(D)

$\frac13$

(E)

$\frac12$

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

도구 #2 (나열): 4 단계 기록은 길이 4의 R/B 문자열. 빨강 2, 파랑 2 인 C(4, 2) = 6 개만 목표 상태에 도달. 사전순으로 나열하고 각 확률 계산. 도구 #5 (패턴): 한두 개 계산해 보면 분자는 항상 1 · 2 · 1 · 2 = 4, 분모는 2 · 3 · 4 · 5 = 120 — 모두 1/30. 도구 #9 (더 쉬운 문제): RRBB 처럼 가장 단순한 순서부터 손으로 풀어 패턴을 발견.

1STEP 1

분모 확인하기

항아리가 매번 하나씩 늘어 분모가 정해집니다.

분모 = 2, 3, 4, 5; 곱 = 120

2STEP 2

순서 세기

두 색을 두 번씩 뽑는 순서를 셉니다.

C(4, 2) = 6 가지 순서

3STEP 3

한 순서 계산하기

한 순서의 확률을 계산합니다.

P(RRBB) = 1/2 · 2/3 · 1/4 · 2/5 = 4/120 = 1/30

4STEP 4

다른 순서도 계산하기

다른 순서도 계산해 봅니다.

P(RBRB) = 1/2 · 1/3 · 2/4 · 2/5 = 4/120 = 1/30

5STEP 5

모두 같음을 확인

분자가 순서와 무관합니다.

분자 = 1_R · 2_R · 1_B · 2_B = 4 (모든 6 순서)

6STEP 6

모두 더하기

곱해서 더하면 5분의 1입니다.

6 · 1/30 = 6/30 = 1/5 → (B)

정답

1/5

4 단계 후 가능한 빨강·파랑 분포는 (5,1), (4,2), (3,3), (2,4), (1,5)의 5 가지. 고전적인 Pólya 항아리 결과로 다섯 분포 모두 동일 확률 (같은 분자 4, 분모 120 논증을 다른 분포에도 적용 가능) — 각각 1/5이고 그게 곧 답.

💡핵심 정리

이 AMC 12 문제는 7학년 때 배운 경우 나열 확률만 알면 풀 수 있어요 — 빨강 2 파랑 2 순서 모두 확률 (1 · 2 · 1 · 2)/(2 · 3 · 4 · 5) = 1/30. 순서 6 가지이므로 답은 6 · 1/30 = 1/5, 선택지 (B).