AMC 10 · 2020 · #17
학년 11 algebra답을 골라 클릭하세요.
도구 #4 (변수 도입): 다항식을 건드리기 전에 ω 의 성질부터 계산 — ω³ = 1, 1 + ω + ω² = 0, ω² = ω. 도구 #5 (패턴): 닫힘 조건을 두 번 적용하면 근이 r, ω r, ω² r 의 삼총사로 묶여 나온다는 것이 보임. 도구 #14 (극단의 원리): 차수 5는 넘을 수 없는 한계라서 삼총사가 두 묶음일 수는 없고, 결국 한 묶음으로 고정됨. 도구 #2 (나열): 남은 자유도는 5를 세 중복도로 쪼개는 방법뿐이므로 그 경우를 나열하고 계수가 실수가 되는 것만 남김. 그 개수가 곧 답.
그 복소수가 하는 일
세제곱하면 1로 돌아옵니다.
ω 를 곱하는 것은 세 번 하면 제자리로 돌아오는 규칙.
11.N-CN.A.2Introduce A Variable근이 셋씩 묶이기
상수항 때문에 0은 근이 아닙니다.
규칙이 근을 세 걸음짜리 고리로 돌리므로 근은 세 개 단위로 포장된다.
그 규칙은 근을 세 걸음 고리로 돌리므로, 근이 셋씩 묶여 온다.
▸ 왜?
그 규칙을 세 번 쓰면 모든 것이 처음 자리로 돌아오므로, 궤도의 길이가 셋이다.
▸ 왜?
실수 계수는 실수가 아닌 근을 거울 짝으로도 묶으므로, 그 묶음이 두 규칙을 모두 따라야 한다.
삼총사는 한 묶음뿐
차수가 5라 한 묶음만 들어갑니다.
차수 5가 천장인데 삼총사 두 묶음은 자리 6 개가 필요 — 천장이 막는다.
11.N-CN.C.9Extreme Principle실수 근 하나 찾기
계수가 실수라 근 하나는 실수입니다.
삼총사를 실수축에 대해 뒤집어도 제자리여야 하는데, 그러려면 실수축 위의 점을 하나 품어야 한다.
11.N-CN.A.3Introduce A Variable중복도 나열하기
가능한 분할을 나열합니다.
켤레쌍은 같은 횟수로 나와야 하므로 5 = 홀수 + m + m 꼴로만 쪼개진다.
11.N-CN.A.3Make A Systematic List항등식 활용하기
세 근의 곱이 깔끔한 항등식이 됩니다.
ω 동료 셋은 곧 t³의 세 세제곱근이므로, 곱하면 세제곱의 차 꼴이 된다.
11.A-APR.C.4Introduce A Variable실근 확정하고 세기
상수항이 실근을 정해 답은 2입니다.
상수항이 t 를 완전히 못 박으므로 셀 것은 중복도 분할의 선택지뿐.
11.A-APR.B.3Make A Systematic Listω = (-1+i√(3))/2를 곱하면 세 번 만에 제자리로 돌아오므로 근은 t, ω t, ω² t 삼총사로 묶이고, 차수 5는 삼총사 한 묶음만 허용하며, 계수가 실수라는 조건이 t 를 실수로 그리고 나머지 둘의 중복도를 같게 만들어 5 = 3+1+1 = 1+2+2 두 가지만 남으니 답은 2 개, 선택지 (C).
- ω 가 하는 일 파악하기
- 근은 셋씩 묶여서 나온다
- 삼총사는 한 묶음뿐
- 세 근 중 하나는 실수
- 중복도 분할 나열하기
- 항등식 x³ - t³ 활용
- t 를 확정하고 세기