AMC 10 · 2020 · #19

학년 8 geometry-2d

유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Constrained Sequence or Path Count

transformations-compositionrotation-isometryreflection-symmetryparity pattern-recognitioncaseworksymmetry-argument ↑ 선수 지식: transformations-compositionreflection-symmetry

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

꼭짓점에 이름이 붙은 단위 정사각형에 스무 번의 이동을 차례로 적용합니다. 매번 네 가지 중 하나를 고르는데, 반시계와 시계 방향 90도 회전 두 가지와 두 축에 대한 대칭 두 가지입니다. 모든 이름 붙은 꼭짓점이 원래 자리로 돌아오는 수열이 몇 개인지 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$2^{37}$

(B)

$3\cdot 2^{36}$

(C)

$2^{38}$

(D)

$3\cdot 2^{37}$

(E)

$2^{39}$

풀이 과정

전략 더 쉬운 문제로 줄이기

도구 #9(더 쉬운 문제): n = 2, n = 4 작은 경우 직접 계산 후 규칙 추출. 도구 #5(패턴): 짝수 길이 n ≥ 2 에서 항등 수열 비율이 정확히 1/4. 도구 #2(나열): 길이 2 수열 16 개 직접 점검 — 항등은 LR, RL, HH, VV 4 개. 도구 #7(쪼개기): 20 번을 "연속 두 번"으로 10 쌍 묶기 — 각 쌍은 4 종류 효과를 균등하게 만듦. 도구 #6(추측·확인): 4²⁰/4 = 4¹⁹ = 2³⁸가 작은 사례에서 맞음을 확인. 도구 #1(그림)으로 네 변환의 치환 표기 고정, 도구 #3(가능성 지우기)으로 선택지와 비율 교차 점검.

1STEP 1

이동을 치환으로 쓰기

네 이동을 치환으로 씁니다.

L = (A B C D), R = (A D C B), H = (A D)(B C), V = (A B)(C D)

2STEP 2

짝수 번 뒤의 자리

짝수 번 뒤에는 두 자리만 가능합니다.

A_짝수 후 ∈ {A, C}, A_홀수 후 ∈ {B, D}

3STEP 3

두 번짜리로 비율 구하기

두 번짜리에서 비율이 4분의 1입니다.

N(2) = 4, N(2)/4² = 1/4

4STEP 4

두 번씩 늘려 가기

두 번 더할 때마다 개수가 네 배가 됩니다.

N(n+2) = 4 · N(n), N(n) = 4ⁿ⁻¹ (n ≥ 2 짝수)

5STEP 5

비율이 유지됨을 보기

전체도 네 배라 비율이 그대로입니다.

P(항등) = 1/4, N(20) = 4²⁰/4 = 4¹⁹ = 2³⁸

6STEP 6

스무 번에 적용하기

전체의 4분의 1이 답이 됩니다.

N(20) = 2³⁸ → (C)

7STEP 7

거듭제곱으로 정리하기

정리하면 2의 38제곱입니다.

비율 = 1/4 → N = 2⁴⁰/4 = 2³⁸

정답

2³⁸

감각 점검: 전체 4²⁰ = 2⁴⁰ ≈ 10¹², 항등 2³⁸ ≈ 2.75 × 10¹¹, 비율 정확히 1/4. 작은 사례: n = 2, 항등 4 개 (LR, RL, HH, VV), 4/16 = 1/4 ✓. n = 4: 계산 (또는 쌍 귀납) → 4³ = 64 / 256, 비율 1/4 ✓. 선택지 (C) 확정.

💡핵심 정리

이 AMC 12 문제는 8학년 기하 변환만 알면 풀려요 — 두 변환 쌍은 정사각형에 정확히 4 가지 효과 중 하나 (그 중 하나가 항등)를 균등하게 주므로, 항등 수열 비율 1/4 — 답 4²⁰/4 = 4¹⁹ = 2³⁸.