AMC 10 · 2020 · #23

학년 12 algebra

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination

complex-numberscomplex-polar-formroots-of-unityequal-spacing caseworkextremal-constructioneasier-related-problem ↑ 선수 지식: complex-numberscomplex-polar-form

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

2 이상인 정수 n에 대해 다음 주장이 언제나 참인지 봅니다. 크기가 모두 1인 복소수 n개의 합이 0이면 그 수들은 반드시 단위원 위에 등간격으로 놓인다는 주장입니다. 이 주장이 항상 참이 되는 n이 몇 개인지 세세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

풀이 과정

전략 가능성 지우기

도구 #1(그림 그리기): 절댓값 1은 "원 위", 합이 0은 "화살표가 닫힌 고리" — 그림이 전부를 이끔. 도구 #16(관점 바꾸기): "모든 경우에" 형태의 주장이므로 두 방향의 비용이 완전히 다름. n 이 된다고 보이려면 진짜 증명이 필요하지만, 안 된다고 보이려면 반례 하나면 충분. 그러니 반례부터 찾음. 도구 #3(가능성 지우기): n = 2, 3, 4, … 를 차례로 훑으며 성공/실패로 분류. 도구 #4(변수 도입): 작은 경우는 각을 이름 붙여 |z₁ + z₂| 를 정확히 계산. 도구 #6(추측·확인): 네 점짜리 반례를 손으로 직접 만들어 검증. 도구 #5(패턴 찾기): 서로 반대인 쌍 w, -w 는 합에 0을 기여한다는 사실이 반례 하나를 모든 큰 n 에 대한 제조법으로 바꿔 줌.

1STEP 1

두 조건을 그림으로 바꾸기

크기가 1이면 단위원 위의 점입니다.

각 k 에 대해 z_k = e^iθ_k, 그리고 Σ_k=1ⁿ z_k = 0 ⇔ (z₁ + … + z_n)/n = 0

2STEP 2

등간격의 뜻 정하기

등간격은 이웃 간격이 모두 같음입니다.

등간격 ⇔ {z₁, …, z_n} = {ζ e^(2π i k)/n}_k=0ⁿ⁻¹, 이웃 간격 모두 = 2π/n

3STEP 3

두 개일 때

둘이면 서로 반대라 성립합니다.

z₁ + z₂ = 0 → z₂ = -z₁, 간격 π 와 π

4STEP 4

세 개일 때 각 재기

세 개일 때 각 쌍의 각이 정해집니다.

2 + 2 Re (z₁z₂) = 1 ⟹ Re (z₁z₂) = -1/2

5STEP 5

세 개일 때 결론

세 각이 모두 같아 성립합니다.

cos(θ₁ - θ₂) = -1/2 → θ₁ - θ₂ = ±2π/3, 나머지 두 쌍도 동일

6STEP 6

네 개일 때 반례

마주 보는 짝 둘이면 등간격이 아닙니다.

1 + (-1) + e^iπ/4 + (-e^iπ/4) = 0, 간격 45°, 135°, 45°, 135° ≠ 90°

7STEP 7

짝수는 모두 깨짐

같은 방법이 모든 짝수에 통합니다.

Σ_j=1^m(e^iθ_j + (-e^iθ_j)) = 0, θ_j = jπ/100n이면 간격 π/100n ＜ 2π/n 발생

8STEP 8

홀수도 모두 깨짐

세 개짜리에 짝을 덧붙이면 됩니다.

(1 + ω + ω²) + Σ_j=1^k(w_j - w_j) = 0; n 이 홀수면 e^(2π i d)/n = -1은 불가능

9STEP 9

살아남은 것 세기

남는 것은 2개입니다.

성립하는 n = {2, 3} → 개수 = 2 → (B)

정답

각 조각을 수치로 확인. n = 3 결론은 ω = e^(2π i)/3 일 때 1 + ω + ω² = 0 이라는 뻔한 예와 일치하고, 4단계 항등식은 Re (1 · ω) = cos (-2π/3) = -1/2를 예측하는데 실제로 맞음. n = 4 반례는 자릿수까지 확인됨: 1 + (-1) + 0.7071(1 + i) - 0.7071(1 + i) = 0, 네 절댓값 모두 1, 간격 45°, 135°, 45°, 135° 는 눈으로 봐도 불균등. n = 5 반례 1, ω, ω², i, -i 는 합이 0 + 0 = 0이고 위치는 0°, 120°, 240°, 90°, 270°, 간격은 90°, 30°, 120°, 30°, 90° — 정오각형에 필요한 72° 가 아님. 또한 n = 2와 n = 3이 모두 통과하므로 개수는 최소 2이고, 함정 선택지 (C) = 3에 도달하려면 n = 4가 정사각형을 강제한다고 믿어야 하는데 명시적 반례가 이를 반박함. 마지막으로 반례들이 서로 다른 점만 사용하므로, z_k 가 서로 달라야 하든 아니든 논증은 그대로 유효.

💡핵심 정리

원 위에서 정반대인 두 점은 언제나 상쇄되므로, n ≥ 4 부터는 합이 0 이면서 치우친 배치를 만들 수 있음. n = 2와 n = 3만 속임수를 쓸 여유가 없어서 개수는 2.

두 조건을 그림으로 바꾸기
"등간격"의 뜻과 값싼 방향
n = 2는 성립
n = 3: 한 쌍의 각을 정확히 재기
n = 3: 각은 120° 일 수밖에
n = 4는 깨짐
짝수 n ≥ 4는 모두 깨짐
홀수 n ≥ 5도 모두 깨짐
살아남은 것 세기