AMC 10 · 2020 · #24

학년 7 counting

유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Numeric Operation Tree

prime-factorizationrecursive-sequencecombinations-basicdivisor-count easier-related-problemcaseworkidentify-subproblems ↑ 선수 지식: prime-factorizationcombinations-basic

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

96을 1보다 큰 인수들의 곱으로 쓰되 순서를 구별합니다. 즉 2 곱하기 3과 3 곱하기 2를 다른 것으로 셉니다. 그런 인수분해가 몇 가지인지 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

112

(B)

128

(C)

144

(D)

172

(E)

184

풀이 과정

전략 더 쉬운 문제로 줄이기

도구 #9(더 쉬운 문제): 문제에 주어진 D(6) = 3을 검증용 작은 사례로. 도구 #2(나열): 인수 개수 k = 1, …, 6으로 분류 (2^k ≤ 96 필요라 k ≤ 6). 도구 #7(쪼개기): 각 k 에 대해 (a) 단일 3의 위치 (b) 5 개의 2 분배 — 두 부분으로 분리. 도구 #5(패턴): 각 k 별 개수가 k · C(5, k-1). 도구 #13(대수): 닫힌 공식으로 합산. 도구 #6(추측·확인): 작은 사례 D(6) = 3으로 공식 확인.

1STEP 1

소인수로 나타내기

각 인수를 지수 두 개로 나타냅니다.

f_i = 2^a_i 3^b_i, a_i + b_i ≥ 1, Σ a_i = 5, Σ b_i = 1

2STEP 2

3의 자리 정하기

3은 한 자리에만 들어갑니다.

3의 위치: k 가지

3STEP 3

2를 나눠 담기

나머지 자리가 비면 안 됩니다.

2 분배: C(5, k - 1)

4STEP 4

인수 개수별로 세기

인수 개수마다 경우를 셉니다.

N_k = k C(5, k-1): 1, 10, 30, 40, 25, 6

5STEP 5

모두 더하기

모두 더하면 112입니다.

D(96) = 1 + 10 + 30 + 40 + 25 + 6 = 112 → (A)

6STEP 6

작은 수로 검산

작은 수로 방법을 검산합니다.

D(6) = 1 + 2 = 3 ✓

정답

112

두 단계 점검. (1) D(6) = 3 확인 — 공식 N_k = k C(5, k-1) 일반화가 정확. (2) 총 112가 선택지 100과 144 사이의 적절한 값. N_k 분포가 k = 4 에서 40으로 정점 — 96의 인수 평균 길이가 ∼ log₂ 96 ≈ 6.6 (최소 인수 2)와 일관. (A) 확정.

💡핵심 정리

이 AMC 12 문제는 7학년 경우의 수만 알면 풀려요 — 96 = 2⁵ · 3이라 각 인수 개수 k 마다 3의 위치 (k 가지) × 5 개의 2 분배 (C(5, k-1), 스타스 앤 바스): k = 1부터 6까지 합하면 1 + 10 + 30 + 40 + 25 + 6 = 112.