AMC 10 · 2020 · #25

학년 11 probability

유형 Geometric Probability by Area └ 세부 유형 Uniform Draws to Favorable Region

pythagorean-identitygeometric-probabilityam-gm-inequalityoptimization convert-to-algebracaseworkextreme-principle ↑ 선수 지식: geometric-probabilitypythagorean-identity

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

어떤 양수까지의 구간에서 한 수를 고르게 뽑고, 0과 1 사이에서 다른 수를 독립적으로 고르게 뽑습니다. 두 수에 파이를 곱한 사인의 제곱을 더한 값이 1보다 클 확률을 봅니다. 그 양수가 0과 1 사이를 움직일 때 이 확률이 가장 커질 수 있는 값을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{7}{12}$

(B)

$2 - \sqrt{2}$

(C)

$\frac{1+\sqrt{2}}{4}$

(D)

$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

(E)

$\frac{5}{8}$

풀이 과정

전략 그림 그리기

도구 #13(대수로 바꾸기): 피타고라스 항등식으로 sin²(π x) + sin²(π y) ＞ 1을 sin(π y) ＞ lvert cos(π x) rvert 라는 사인 대 코사인 비교로 바꾼다. 도구 #9(더 쉬운 문제): [0,1] 위에서는 양변이 코사인의 단조 구간 값이라, 삼각함수 조건이 lvert x - 1/2 rvert + lvert y - 1/2 rvert ＜ 1/2 라는 일차 조건으로 완전히 무너진다. 도구 #1(그림): 그 조건은 단위정사각형에 내접한 마름모라, 확률이 넓이 비로 눈에 보인다. 도구 #7(쪼개기): 띠 0 ≤ x ≤ a 안의 마름모 넓이를 a ≤ 1/2와 a ≥ 1/2 두 경우로 계산. 도구 #14(극단의 원리): 나온 P(a) = 2 - a - 1/2a는 훑어보기가 아니라 AM-GM 으로 최대화. 도구 #3(가능성 지우기): 두 경우의 최댓값을 비교해 전체 최댓값을 고른다.

1STEP 1

항등식으로 고쳐 쓰기

조건이 하나의 부등식이 됩니다.

sin²(π y) ＞ cos²(π x) ⇔ sin(π y) ＞ lvert cos(π x) rvert

2STEP 2

삼각함수를 거리로

삼각함수가 거리의 합으로 무너집니다.

lvert x - 1/2 rvert + lvert y - 1/2 rvert ＜ 1/2

3STEP 3

마름모 그리기

정사각형 안의 마름모가 나옵니다.

마름모 꼭짓점 (1/2, 0), (0, 1/2), (1/2, 1), (1, 1/2); 넓이 = 1/2

4STEP 4

세로 단면 읽기

세로 단면의 길이를 읽습니다.

g(x) = 2min(x, 1-x), g(1/2) = 1

5STEP 5

띠 안의 넓이 구하기

경계 위치에 따라 두 경우가 됩니다.

P(a) = (2a - a² - 1/2)/a = 2 - a - 1/2a (1/2 ≤ a ≤ 1)

6STEP 6

손실을 최소화하기

산술기하평균으로 최솟값을 찾습니다.

a + 1/2a ≥ √(2), a = √(2)/2 에서 등호 → P_max = 2 - √(2)

7STEP 7

두 경우 비교

최댓값은 2 빼기 루트2입니다.

max₀ ＜ a ≤ 1 P(a) = 2 - √(2) ≈ 0.5858 → (B)

정답

2 - √(2)

세 가지 점검. (1) 범위: 마름모가 단위정사각형의 정확히 절반이라 P(1) = 1/2이고, 텐트의 최고 높이가 1이라 어떤 평균도 1을 넘을 수 없다. 답 2 - √(2) ≈ 0.5858은 1/2과 1 사이이면서 1/2 보다 조금만 큰데, 텐트의 낮은 오른쪽 끝을 잘라낸 이득의 크기로 딱 맞다. (2) 정류점 교차검증: [0,a] 평균이 정류점이 되는 것은 새로 들어온 값이 지금까지의 평균과 같을 때, 즉 g(a) = P(a) 일 때다. 이는 2(1-a) = 2 - a - 1/2a, 정리하면 a² = 1/2 — 전혀 다른 논증으로 같은 a = √(2)/2가 나온다. (3) 오답 분리: 가장 가까운 오답은 7/12 ≈ 0.58333 인데 실제 도달값 P(√(2)/2) = 2 - √(2) ≈ 0.585786이 이보다 크므로 (A)는 최댓값일 수 없다. (C) ≈ 0.6036, (D) ≈ 0.6180, (E) = 0.625는 모두 증명된 상한 2 - √(2)를 넘어 불가능하다. (B) 확정.

💡핵심 정리

항등식 sin² + cos² = 1이 성공 조건을 마름모 lvert x - 1/2 rvert + lvert y - 1/2 rvert ＜ 1/2로 바꿔 주므로, P(a)는 띠 안 마름모 넓이 나누기 띠 넓이 = 2 - a - 1/2a이고, AM-GM 이 a = √(2)/2 에서 멈추라고 알려 줘 최댓값은 2 - √(2) 다.

피타고라스 항등식으로 고쳐 쓰기
삼각함수를 거리로 무너뜨리기
정사각형 안 마름모 그리기
세로 단면 하나 읽기
띠 안 넓이, 두 경우
AM-GM 으로 손실 최소화
두 경우 비교