AMC 10 · 2020 · #4
학년 8 geometry-2d angle-sum-triangleprime-numbersprimality-test guess-and-checksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: prime-numbersangle-sum-triangle
📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
어떤 직각삼각형의 두 예각이 각각 소수인 도수를 갖고 하나가 다른 하나보다 큽니다. 작은 쪽 각이 가질 수 있는 가장 작은 값을 구하세요.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
2
(B)
3
(C)
5
(D)
7
(E)
11
풀이 과정
전략 가능성 지우기
도구 #3(가능성 지우기): 선택지가 다섯 개뿐. 작은 값부터 차례로 "90 - b 가 소수인가?" 만 확인하면 가장 먼저 성공하는 값이 답. 도구 #6(추측하고 확인하기): 최솟값을 찾으니 작은 것부터. 도구 #16(관점 바꾸기): "b 가 소수인가?" 는 이미 선택지가 다 소수이므로, 질문을 "90 - b 도 소수인가?" 로 옮기면 한 번의 소수 판정으로 결판.
1STEP 1
두 각의 합 쓰기
두 예각의 합은 90도입니다.
a + b = 90
전체 180° 에서 직각 90° 를 빼면 두 예각이 나눠 가질 90° 남음.
전체에서 직각을 빼면 나머지 두 각이 나눠 가질 90도가 남는다.
▸ 왜?
삼각형의 세 각의 합은 모양이 어떻든 언제나 평각이다.
삼각형 내각의 합은 180도평평한 삼각형의 세 각은 언제나 평각 하나, 180도가 된다.
▸ 왜?
직각은 평각의 정확히 절반이므로, 남는 것은 나머지 절반이다.
평각은 180도직선 위에 나란히 놓인 각들은 언제나 180도를 채운다.
2STEP 2
가장 작은 소수 시험
짝이 합성수라 탈락합니다.
b = 2 → a = 88 (합성수) ✗
2 보다 큰 짝수는 모두 합성수 — 가장 빠른 판정.
4.OA.B.4Guess And Check3STEP 3
다음 소수 시험
이번에도 짝이 합성수입니다.
b = 3 → a = 87 = 3 · 29 ✗
87의 각 자리 합 15가 3의 배수이므로 87은 3으로 나눠짐.
4.OA.B.4Guess And Check4STEP 4
그다음 소수 시험
여전히 통과하지 못합니다.
b = 5 → a = 85 = 5 · 17 ✗
85는 끝자리가 5 — 5의 배수.
4.OA.B.4Guess And Check5STEP 5
통과하는 소수 찾기
짝도 소수인 첫 값은 7입니다.
b = 7 → a = 83 소수 ✓ → (D)
작은 후보 셋이 모두 실패했으니 b = 7이 최소.
4.OA.B.4Eliminate Possibilities정답
7
83 + 7 = 90으로 각의 합이 맞고, 둘 다 소수이며 83 ＞ 7. b = 2, 3, 5는 모두 a 가 합성수가 되어 탈락했으므로 7이 진짜 최솟값.
💡핵심 정리
이 AMC 12 문제는 사실 8학년 "삼각형 내각의 합은 180°" 와 간단한 소수 판정만 알면 풀 수 있어요 — b = 2, 3, 5, 7을 순서대로 시도하면 b = 7이 짝(소수 83)을 만나는 첫 값이에요!