AMC 10 · 2020 · #6

학년 6 algebra
유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation
factorialpolynomial-factoringperfect-squares identify-subproblemsconvert-to-algebraguess-and-check ↑ 선수 지식: factorialpolynomial-factoring
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
9 이상인 정수를 하나 잡습니다. 그 수보다 2 큰 수의 계승에서 1 큰 수의 계승을 빼고 그 수의 계승으로 나눈 식을 만듭니다. 다섯 설명 중 넷은 어떤 값에서 틀리고 하나만 항상 맞습니다. 항상 맞는 설명을 고르세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
a multiple of 4
(B)
a multiple of 10
(C)
a prime number
(D)
a perfect square
(E)
a perfect cube
풀이 과정
전략 다르게 정리하기

n!, (n+1)!, (n+2)! 세 팩토리얼은 서로 관계없는 거대한 수처럼 보이지만, 사실은 같은 곱을 길이만 다르게 적은 것입니다. 이 셋을 모두 가장 짧은 n!으로 다시 쓰는 것이 분수를 무너뜨리는 결정적 수이며, 그래서 주 도구는 계산이 아니라 주어진 정보를 다시 정리하는 것입니다. 식이 무너진 뒤 남은 식을 인수분해하는 일은 그 자체로 작은 문제 하나입니다. 마지막으로 문제는 '항상' 참인 것을 묻고 있으므로, 정리된 식과 잘 고른 시험값 하나면 어떤 설명이 살아남고 어떤 넷이 죽는지가 정해집니다.

1STEP 1

계승을 하나로 통일하기

모든 계승을 같은 계승으로 씁니다.

(n+1)! = (n+1) · n!, (n+2)! = (n+2)(n+1) · n!
2STEP 2

공통 인수 약분

공통 인수가 통째로 약분됩니다.

((n+2)!-(n+1)!)/n! = ((n+2)(n+1) n! - (n+1) n!)/n! = (n+2)(n+1) - (n+1)
3STEP 3

남은 식 인수분해

남은 식이 완전제곱이 됩니다.

(n+2)(n+1) - (n+1) = (n+1)[(n+2)-1] = (n+1)(n+1) = (n+1)²
4STEP 4

값 하나로 확인

값 하나를 넣어 확인합니다.

n = 9: (11!-10!)/9! = 36288000/362880 = 100 = 10²
5STEP 5

살아남은 설명 고르기

답은 완전제곱수라는 설명입니다.

(n+1)²은 모든 정수 n 에 대해 완전제곱수; n = 10 → 121
정답
완전제곱수
정리된 식 (n+1)²은 모든 점검을 통과합니다. 값이 양수이고 빠르게 커지는데, 이는 팩토리얼의 차를 더 작은 팩토리얼로 나눈 결과와 잘 어울립니다. n = 9에서 직접 계산과 일치해 둘 다 100이고, n = 10에서 한 번 더 확인하면 (12!-11!)/10! = (479001600-39916800)/3628800 = 439084800/3628800 = 121 = 11²로 예측과 정확히 맞습니다. 이 121이라는 값은 다른 선택지가 왜 안 되는지도 보여 줍니다. 홀수이고, 끝자리가 1이며, 11 · 11로 인수분해되고, 4³과 5³ 사이에 있으므로 (A), (B), (C), (E)를 한꺼번에 깨뜨립니다.
💡핵심 정리

모든 팩토리얼을 가장 작은 팩토리얼로 다시 쓰고 약분하면 괴물 같던 분수가 (n+1)²으로 줄어들고, 이는 언제나 완전제곱수입니다.

  • 모든 팩토리얼을 n!으로 쓰기
  • 공통인 n! 약분하기
  • 공통인수 (n+1) 묶어내기
  • 값 하나로 확인하기
  • 살아남은 설명 고르기

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