AMC 10 · 2020 · #8
학년 6 algebra perfect-squaresbound-inequality-then-enumerateparity identify-subproblemsbound-inequality-then-enumeratecasework ↑ 선수 지식: perfect-squaresexponents
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
어떤 정수 순서쌍이 x의 2020제곱 더하기 y의 제곱이 2y와 같아지는 방정식을 만족합니다. 그런 순서쌍이 몇 개인지 구하세요.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
1
(B)
2
(C)
3
(D)
4
(E)
infinitely many
풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기
도구 #7로 완전제곱을 이용해 x²⁰²⁰ + (y-1)² = 1로 변형 — 두 항 모두 음 아닌 정수, 합이 1. 도구 #9 (더 쉬운)로 무서워 보이는 x²⁰²⁰을 "x = 0이면 0, x = ± 1이면 1, 그 외엔 거대" 로 단순화. 도구 #2로 합이 1 인 두 경우만 나열. 도구 #3으로 보기와 매칭.
1STEP 1
완전제곱으로 만들기
정리하면 두 제곱의 합이 1이 됩니다.
x²⁰²⁰ + y² - 2y = 0 → x²⁰²⁰ + (y - 1)² = 1
완전제곱으로 양 항을 모두 음 아닌 값으로.
완전제곱으로 고치면 양변이 결코 음수가 될 수 없게 다시 쓰인다.
▸ 왜?
밀린 제곱을 펼치면 곱셈이 모든 항에 퍼지며, 그 고쳐 쓰기는 그것을 되돌린다.
분배법칙(b와 c)를 a묶음 만든 것은 b를 a묶음, c를 a묶음 만든 것과 같다 — 묶음을 나눌 수 있다.
▸ 왜?
제곱은 언제나 0 이상이므로, 합이 1이면 나뉠 방법이 짧은 목록뿐이다.
부등호의 추이성첫째가 둘째보다 크고 둘째가 셋째보다 크면 첫째는 셋째보다 크다.
2STEP 2
가능한 조합 나열
두 값은 0과 1 중 하나씩입니다.
{x²⁰²⁰, (y-1)²} = {0, 1}
음 아닌 정수의 합이 1이면 0 + 1 뿐.
6.EE.A.1Solve An Easier Related Problem3STEP 3
첫 경우 풀기
첫 경우가 해 두 개를 줍니다.
x = 0, y ∈ {0, 2} → (0, 0), (0, 2)
0 + 1 = 1 갈래.
6.EE.B.5Make A Systematic List4STEP 4
둘째 경우 풀기
짝수 지수라 부호가 둘 다 됩니다.
x ∈ {-1, 1}, y = 1 → (1, 1), (-1, 1)
1 + 0 = 1 갈래.
6.EE.B.5Make A Systematic List5STEP 5
해 더하기
모두 더합니다.
2 + 2 = 4
서로 겹치지 않으니 그냥 합.
2.OA.A.1Identify Subproblems6STEP 6
보기와 맞추기
순서쌍은 4개입니다.
4 → (D)
일치하는 보기 찾기.
4.NBT.A.2Eliminate Possibilities정답
4
네 쌍을 원식 x²⁰²⁰ + y² = 2y 에 대입해 확인: (0, 0): 0 + 0 = 0 = 2 · 0 ✓; (0, 2): 0 + 4 = 4 = 2 · 2 ✓; (1, 1): 1 + 1 = 2 = 2 · 1 ✓; (-1, 1): 1 + 1 = 2 = 2 · 1 ✓. 다른 쌍이 없음도 확인: |x| ≥ 2 면 x²⁰²⁰ ≥ 2²⁰²⁰이라 (y-1)²이 음수가 되어야 하는데 불가능. 보기 (E) 무한히 많음은 배제. ✓
💡핵심 정리
이 AMC 12 문제는 사실 6학년 식 변형만 알면 풀 수 있어요 — 완전제곱으로 x²⁰²⁰ + (y-1)² = 1로 정리하면, 음 아닌 두 정수의 합이 1이 되는 경우는 0 + 1 뿐. 그래서 (0, 0), (0, 2), (1, 1), (-1, 1)의 4 쌍.