AMC 10 · 2021 · #13

학년 12 algebra

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complex-polar-formcomplex-numberstrigonometric-ratioscoordinate-geometry systematic-enumerationpattern-recognition ↑ 선수 지식: complex-numbers

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

복소수 다섯 개가 주어집니다. 각각을 다섯 제곱한 뒤 실수부가 가장 큰 것이 어느 것인지 고르세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

${-}2$

(B)

${-}\sqrt3+i$

(C)

${-}\sqrt2+\sqrt2 i$

(D)

${-}1+\sqrt3 i$

(E)

풀이 과정

전략 다르게 정리하기

(-√3+i)⁵을 a+bi 꼴로 하나하나 전개해도 되지만 느리고, 그것을 다섯 번 반복하면 계산 실수가 나기 쉽다. 이 문제의 핵심은 도구 #15 (다르게 정리하기)이다. 같은 다섯 수를 a+bi 대신 극형식 r(cosθ + isinθ)로 적으면, 5제곱이 각도에 대한 곱셈 한 번으로 바뀐다. 도구 #1 (그림 그리기)은 상황을 눈에 보이게 만든다 — 다섯 점을 찍고 그들이 함께 놓인 원을 보는 것이다. 도구 #5 (패턴 찾기)는 이 문제가 그 위에 설계된 사실을 잡아낸다: 다섯 후보 모두 원점에서 같은 거리에 있어서 크기 싸움이 사라지고 방향만 남는다. 도구 #2 (빠짐없이 나열하기)로 같은 짧은 계산을 다섯 줄에 걸쳐 내려간다. 도구 #3 (가능성 지우기)이 음수와 0 인 실수부를 버리고 남은 둘을 비교해 마무리한다.

1STEP 1

다섯 선택지 찍어 보기

다섯 수를 평면에 점으로 찍습니다.

-2 → (-2, 0), -√3+i → (-√3, 1), -√2+√2 i → (-√2, √2), -1+√3 i → (-1, √3), 2i → (0, 2)

2STEP 2

크기가 모두 같음

다섯 개의 크기가 모두 같습니다.

|z| = √(a²+b²) = 2 (다섯 개 모두) ⟹ |z⁵| = 2⁵ = 32 (다섯 개 모두)

3STEP 3

극형식으로 바꾸기

각 수를 각도로 나타냅니다.

-2 = 2 cis 180°, -√3+i = 2 cis 150°, -√2+√2 i = 2 cis 135°, -1+√3 i = 2 cis 120°, 2i = 2 cis 90°

4STEP 4

거듭제곱은 각의 곱

다섯 제곱은 각을 다섯 배로 만듭니다.

z = 2(cosθ + isinθ) ⟹ z⁵ = 32(cos 5θ + isin 5θ) ⟹ Re(z⁵) = 32cos 5θ

5STEP 5

각도 계산하기

각 각도를 다섯 배 합니다.

900° ≡ 180°, 750° ≡ 30°, 675° ≡ 315°, 600° ≡ 240°, 450° ≡ 90°

6STEP 6

코사인 읽기

원에서 코사인 값을 읽습니다.

Re = -32, 16√3, 16√2, -16, 0 (180°, 30°, 315°, 240°, 90° 순)

7STEP 7

두 후보 비교

가장 큰 것은 마이너스 루트3 더하기 i입니다.

16√3 ≈ 27.7 ＞ 16√2 ≈ 22.6 ＞ 0 ＞ -16 ＞ -32 ⟹ (B)

정답

-√3+i

극형식을 전혀 쓰지 않고 a+bi 꼴로 직접 계산해 승자를 확인해 보자. z = -√3 + i 라 하면 z² = 3 - 2√3 i + i² = 2 - 2√3 i 이고, z⁴ = (2 - 2√3 i)² = 4 - 8√3 i + 12i² = -8 - 8√3 i 이다. 마지막으로 z⁵ = (-8 - 8√3 i)(-√3 + i) = 8√3 - 8i + 24i + 8√3 = 16√3 + 16i 이고, 실수부는 16√3으로 극형식 계산과 일치한다. 나머지도 쉬운 확인 두 개로 뒷받침된다: (-2)⁵ = -32로 예측과 정확히 같고, (2i)⁵ = 32 i⁵ = 32i 의 실수부는 0으로 역시 예측대로다. 끝으로 16√3 ≈ 27.7은 상한 32 = |z⁵| 보다 충분히 작은데, 반드시 그래야 한다. 5제곱 후 양의 실수축 방향을 정확히 가리키는 선택지가 없으므로 어떤 선택지도 그 상한에 닿지 못한다.

💡핵심 정리

다섯 선택지 모두 원점에서 거리가 2로 같으므로 그 5제곱은 전부 반지름 32 인 하나의 원 위에 놓이고 방향만 문제가 된다. 5제곱은 각도를 5 배로 만들어 150° 가 750° ≡ 30° 가 되는데, 이것이 정확히 오른쪽에 가장 가까운 방향이라 실수부가 32cos 30° = 16√3으로 가장 크고, 답은 (B)이다.

다섯 선택지를 점으로 찍기
다섯 개 모두 같은 거리
각 선택지를 극형식으로 바꾸기
드무아브르가 거듭제곱을 곱셈으로 바꾼다
각 각도에 5를 곱하기
원에서 코사인 값을 읽기
살아남은 둘을 비교하기