AMC 10 · 2021 · #14

학년 11 algebra

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

logarithm-propertiesexponentssequences-arithmetictriangular-numbers identify-subproblemspattern-recognition ↑ 선수 지식: logarithm-properties

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

긴 합 두 개를 곱합니다. 첫 합은 밑과 진수의 지수가 모두 변하는 로그를 20까지 더한 것이고, 둘째 합은 비슷한 로그를 100까지 더한 것입니다. 두 합의 곱의 정확한 값을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

$100\log_5 3$

(C)

$200\log_3 5$

(D)

$2{,}200$

(E)

$21{,}000$

풀이 과정

전략 다르게 정리하기

여기에는 로그가 120개나 있어서 하나씩 계산할 수는 없습니다. 하지만 그 모두가 3과 5라는 두 수를 서로 다른 거듭제곱으로 옷 입힌 것에 불과합니다. 그래서 이 문제는 결국 다시 쓰기 작업입니다. 밑의 지수와 진수의 지수를 동시에 떼어 내는 항등식 하나를 찾으면, 모든 항이 로그 하나의 단순한 배수로 무너집니다. 그렇게 되면 각 합은 log₅ 3의 몇 배 또는 log₃ 5의 몇 배일 뿐이고, 이 두 로그는 서로 역수입니다. 두 합을 각각 별개의 작은 문제로 다루고 맨 마지막에만 곱하면 계산이 깔끔하게 정리됩니다.

1STEP 1

지수를 떼어 내기

항등식 하나가 두 지수를 모두 떼어 냅니다.

log_a^m bⁿ = (log bⁿ)/(log a^m) = (nlog b)/(mlog a) = n/m log_a b

2STEP 2

첫 합 정리하기

첫 합이 정수의 합이 됩니다.

Σ_k=1²⁰ log₅^k 3^k² = Σ_k=1²⁰ k²/klog₅ 3 = (Σ_k=1²⁰ k)log₅ 3

3STEP 3

첫 합 계산하기

짝지어 더합니다.

Σ_k=1²⁰ k = (20 · 21)/2 = 210 → Σ_k=1²⁰ log₅^k 3^k² = 210log₅ 3

4STEP 4

둘째 합 정리하기

둘째 합은 항이 모두 같습니다.

Σ_k=1¹⁰⁰ log₉^k 25^k = Σ_k=1¹⁰⁰ k/klog₉ 25 = 100log₃² 5² = 100 · 2/2log₃ 5 = 100log₃ 5

5STEP 5

곱하면 로그가 지워짐

곱하면 21000입니다.

log₅ 3 · log₃ 5 = (log 3)/(log 5)·(log 5)/(log 3) = 1 → (210log₅ 3)(100log₃ 5) = 21000

정답

21,000

소수로 크기를 확인합니다. log₅ 3 ≈ 0.683이므로 첫 번째 합은 대략 210 × 0.683 ≈ 143입니다. log₃ 5 ≈ 1.465이므로 두 번째 합은 대략 100 × 1.465 ≈ 147입니다. 곱은 대략 143 × 147 ≈ 21000으로 정확한 답과 맞습니다. 선택지도 크기로 깔끔하게 갈립니다. 21과 2,200은 너무 작고, 100log₅ 3 ≈ 68과 200log₃ 5 ≈ 293은 더 작으므로 21,000만이 올바른 범위에 있습니다. 로그가 말끔히 약분되기 때문에 답이 남는 로그 없이 정확히 20 · 21/2 × 100 = 21000이 되는 것입니다.

💡핵심 정리

진수의 지수는 위로 올라가고 밑의 지수는 아래로 내려가므로, 모든 로그를 같은 두 수로 다시 쓰고 나면 지저분한 부분은 약분되고 세는 일만 남습니다.

항등식 하나로 두 지수를 떼어 내기
첫 번째 합을 정수의 합으로 바꾸기
1부터 20까지 짝지어 더하기
두 번째 합의 항이 모두 같음을 알아채기
곱하면 로그가 서로 지워짐

지수를 떼어 내기

첫 합 정리하기

첫 합 계산하기

둘째 합 정리하기

곱하면 로그가 지워짐

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