AMC 10 · 2021 · #19
학년 11 algebra답을 골라 클릭하세요.
사인과 코사인은 곧바로 비교할 수 없으므로, 핵심 수는 도구 #15 (다르게 정리하기)입니다 — 여각 공식으로 코사인 쪽을 사인으로 바꿔 양변이 같은 언어를 쓰게 만듭니다. 보통 "sin A = sin B" 는 무한히 많은 갈래 (A = B + 2π k 와 A = π - B + 2π k)를 열어젖히는데, 대부분의 학생이 여기서 무너집니다. 도구 #14 (극단의 원리)가 그 문을 먼저 닫습니다: [0, π] 에서 sin x 와 cos x 의 극단값을 확인하면 두 내부 각이 모두 사인이 일대일인 구간 [-π/2, π/2] 안에 갇힙니다. 그러면 두 각은 그냥 같아야 하고, 도구 #13 (대수로 바꾸기)이 전체를 sin x + cos x = 1로 줄이며, 도구 #2 (빠짐없이 나열하기)로 구간 안의 유한한 해를 읽어냅니다. 각이 갇힌 뒤 불필요한 갈래를 지우는 것이 도구 #3 (가능성 지우기)이고, 최종 후보 두 개를 원래 방정식에 다시 넣어 마무리하는 것이 도구 #6 (추측하고 확인하기)입니다.
두 내부 각 가두기
두 내부 각이 좁은 범위에 갇힙니다.
각각의 각이 정확히 어떤 창 안에 사는지 못 박아 두는 것이, 나중에 갈래를 만들지 않고 사인을 지울 수 있게 해 줍니다.
11.F-TF.A.2Extreme Principle코사인을 사인으로
양변을 같은 함수로 맞춥니다.
사인과 코사인은 사분의 일 회전만큼 밀린 같은 파동이라, 언제든 한쪽을 다른 쪽 옷으로 갈아입힐 수 있습니다.
사인과 코사인은 4분의 1 바퀴만큼 밀린 같은 파동이므로, 어느 쪽이든 다른 쪽으로 차려입힐 수 있다.
▸ 왜?
정해진 각을 다른 각에 더하는 것이 밀린 파동이 담는 내용이므로, 그 이동은 각의 합일 뿐이다.
▸ 왜?
4분의 1 바퀴는 원 전체의 정해진 몫이므로, 그 이동은 어디서나 똑같다.
사인을 안전하게 지우기
범위 덕분에 사인을 안전하게 지웁니다.
사인 값이 같다고 각이 같아지는 것은, 두 각이 모두 사인 파동이 같은 값을 두 번 갖지 않는 구간에 갇혀 있을 때뿐입니다.
11.F-BF.B.4Eliminate Possibilities깔끔한 식으로 줄이기
사인과 코사인의 합이 1이 됩니다.
겹겹이 쌓인 삼각방정식이 삼각함수에서 가장 다루기 쉬운 식 하나로 무너졌습니다.
9.A-REI.B.3Convert To Algebra하나의 파동으로 접기
합을 하나의 사인파로 접습니다.
같은 각의 사인과 코사인을 더하면 언제나 옆으로 밀린 사인 파동 하나가 되고, 파동 하나는 개수 세기가 훨씬 쉽습니다.
11.F-TF.C.9Organize Information In More Ways구간 안의 해 나열
구간 안의 해를 나열합니다.
수평선은 사인 파동의 한 봉우리를 많아야 두 곳에서 자르는데, 이 창은 딱 봉우리 하나에 꼬리가 붙은 만큼입니다.
11.F-TF.A.2Make A Systematic List검산하고 개수 세기
검산하면 2개입니다.
최종 후보를 원식에 다시 넣는 데는 몇 초면 충분하고, 대수적 지름길 때문에 살아남은 가짜 해를 잡아 줍니다.
11.A-REI.D.11Guess And Check사인과 코사인이 같다고 나오면, 먼저 한쪽을 다른 쪽으로 고쳐 써서 양변을 같은 함수로 만드세요. 그다음 두 각이 모두 [-π/2, π/2] 안에 갇혀 있는지 확인합니다 — 그 구간에서는 사인이 같은 값을 두 번 갖지 않으므로 각 자체가 같아야 하기 때문입니다. 그러면 이 괴물 같은 식이 sin x + cos x = 1로 무너지고, [0, π] 에서 이 식은 x = 0과 x = π/2 에서만 성립합니다 — 그래서 답은 (C)입니다.
- 두 내부 각을 가두기
- 코사인을 사인으로 고쳐 쓰기
- 사인을 안전하게 지우기
- 깔끔한 식으로 줄이기
- 합을 하나의 파동으로 접기
- 구간 안의 해 나열하기
- 검산하고 개수 세기