AMC 10 · 2021 · #2

학년 9 algebra

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination

signed-square-rootzero-product-propertysign-analysisabsolute-value easier-related-problemextreme-principle ↑ 선수 지식: signed-square-root

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

두 실수에 대해 제곱의 합의 제곱근이 두 수의 합과 같아지는 때가 언제인지 정확히 정하세요. 각 보기가 후보 조건을 말합니다. 그 조건을 만족하는 모든 짝이 등식을 참으로 만들고, 등식이 참인 모든 짝이 그 조건을 만족해야 합니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

It is never true.

(B)

$\text{It is true if and only if } ab=0.$

(C)

$\text{It is true if and only if } a+b\ge 0.$

(D)

$\text{It is true if and only if } ab=0 \text{ and } a+b\ge 0.$

(E)

It is always true.

풀이 과정

전략 더 쉬운 문제로 줄이기

무리식 등식은 항끼리 비교하기 어렵다. 그래서 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 √(a²+b²)=a+b를 제곱한 식 a²+b²=(a+b)²로 바꾼다. 이것은 누구나 전개할 수 있는 다항식 문장이다. 다만 제곱은 일방통행이므로, 도구 #14(극단의 원리)가 빠진 반쪽을 채워 준다. 주 제곱근이 가질 수 있는 가장 작은 값은 0이므로 우변은 음이 아니도록 강제되고, 바로 그 조건이 제곱을 되돌릴 수 있게 만든다. 양쪽 반쪽을 모두 손에 넣으면 참인 조건이 확정되고, 도구 #3(가능성 지우기)이 나머지 네 선택지 각각에 대해 구체적인 반례 하나씩을 제시해 그것을 확인한다.

1STEP 1

좌변은 결코 음수가 아니다

좌변이 결코 음수가 아닙니다.

√(a²+b²) ≥ 0 ⟹ a+b ≥ 0

2STEP 2

제곱해서 근호 없애기

제곱하면 곱이 0이라는 조건이 나옵니다.

a²+b²=(a+b)²=a²+2ab+b² ⟹ 0=2ab ⟹ ab=0

3STEP 3

그 조건이면 충분한지도 확인하기

그 조건이면 충분함도 확인합니다.

b=0, a ≥ 0 ⟹ √(a²+0²)=√(a²)=|a|=a=a+b

4STEP 4

나머지 네 선택지 지우기

반례로 나머지를 지우면 곱이 0이고 합이 음수가 아닐 때입니다.

(3,0)→(A) 탈락; (-1,0)→(B) 탈락; (1,1)→(C),(E) 탈락 ⟹ (D)

정답

ab=0이고 a+b ≥ 0일 때, 그리고 그때만 참이다.

(D)의 조건은 등식이 성립하는 점들의 집합을 a축의 음이 아닌 부분과 b축의 음이 아닌 부분의 합집합으로 그려 준다. ab=0은 점을 축 위에 올리고, a+b ≥ 0은 각 축에서 양의 방향 절반만 남긴다. 이 그림을 표본 검사해 보면 맞다. (5,0)은 √(25)=5로 참, (0,7)은 √(49)=7로 참, (0,0)은 0=0으로 참이다. (0,-2)는 축 위에 있지만 a+b=-2 ＜ 0이고 실제로 √(4)=2 ≠ -2이다. (3,4)는 축을 벗어나 있고 √(25)=5 ≠ 7이다. 모든 경우가 (D)와 맞아떨어지며, 같은 집합을 서술하는 다른 선택지는 없다.

💡핵심 정리

무리식 등식의 양변을 제곱하는 것은 이야기의 절반만 말해 준다 — 제곱근은 결코 음수가 아니므로, 반대쪽 변이 음수가 아니라는 것까지 요구해야 한다.

좌변은 결코 음수가 아니다
제곱해서 근호 없애기
그 조건이면 충분한지도 확인하기
나머지 네 선택지 지우기

좌변은 결코 음수가 아니다

제곱해서 근호 없애기

그 조건이면 충분한지도 확인하기

나머지 네 선택지 지우기

비슷한 유형 더 풀어보기