AMC 10 · 2021 · #22
학년 11 algebra답을 골라 클릭하세요.
다항식 전체를 한 번에 찾으려 하지 말자. 비에트 정리에 따르면 각 계수는 근들의 대칭식 하나이므로, abc는 세 개의 작은 문제로 갈라진다. 즉 세 코사인의 합, 두 개씩 곱한 것들의 합, 그리고 세 코사인의 곱이다. 각도를 θ, 2θ, 4θ로 바꿔 부르면 두 배로 늘어나는 패턴이 드러나고, 사인 항등식이 그 패턴을 접어 버리므로 세 문제 모두 짧은 삼각함수 계산이 된다.
곱을 셋으로 쪼개기
세 계수를 근의 대칭식으로 씁니다.
최고차항의 계수가 1인 삼차식의 계수는 근들의 합, 두 개씩의 곱의 합, 전체 곱일 뿐이므로 근을 하나하나 알 필요가 전혀 없다.
최고차항의 계수가 1인 삼차식의 계수는 근의 합과 짝의 합과 곱일 뿐이다.
▸ 왜?
계수는 정확히 그 대칭적인 양들만 담을 뿐, 근에 대한 다른 것은 담지 않는다.
▸ 왜?
삼차식은 일차 인수 가운데 하나가 0인 곳에서만 0이 되므로, 근이 그것을 되세운다.
두 배 사다리로 부르기
세 각이 두 배씩 이어집니다.
각을 θ, 2θ, 4θ로 바꿔 부르면 뒤죽박죽으로 보이던 세 각이 두 배 사다리가 되는데, 이는 사인 항등식이 타고 오르는 법을 정확히 아는 모양이다.
11.F-TF.A.2Introduce A Variable근의 합 구하기
사인을 곱하면 망원 합이 됩니다.
줄지어 선 코사인들에 알맞은 사인을 곱하면 각각이 사인의 차로 바뀌고, 차들의 사슬은 양 끝만 남기고 접힌다.
11.F-TF.C.9Look For A Pattern두 개씩 곱한 합 구하기
곱을 합으로 바꾸면 앞의 값이 다시 나옵니다.
이 각들의 모임은 더하고 빼도 그 안에 머무르므로, 두 코사인의 곱은 언제나 같은 세 코사인으로 되돌아온다.
11.F-TF.C.9Organize Information In More Ways근의 곱 구하기
사인 배각 공식이 곱을 접습니다.
두 배로 갈 때마다 앞의 계수가 절반이 되고, 세 번 두 배로 가면 각이 원을 한 바퀴 다 돌아 처음 자리로 되돌아온다.
11.F-TF.A.2Look For A Pattern세 계수 곱하기
곱하면 32분의 1입니다.
음수 두 개를 곱하면 양수가 되므로, 답은 양수인 보기 중 하나일 수밖에 없었다.
9.A-SSE.A.1Identify Subproblems근 자체를 구할 필요는 없다. 최고차항의 계수가 1인 삼차식의 계수는 근들의 합, 두 개씩의 곱의 합, 전체 곱일 뿐이고, 줄지어 선 코사인에 알맞은 사인을 곱하면 그 셋이 모두 간단한 분수로 접힌다.
- 비에트 정리로 abc를 셋으로 쪼개기
- 각을 두 배 사다리로 바꿔 부르기
- 근들의 합은 -1/2
- 두 개씩 곱한 합도 -1/2
- 근들의 곱은 1/8
- 세 계수를 곱하기