AMC 10 · 2021 · #23

학년 7 probability

유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Markov State Probability

probability-basicsymmetry-argumentrecursive-sequencecomplementary-counting identify-subproblemscasework ↑ 선수 지식: probability-basic

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

개구리가 3 곱하기 3 격자의 한가운데에서 시작합니다. 한 번 뛸 때마다 위, 아래, 왼쪽, 오른쪽으로 각각 4분의 1의 확률로 한 칸 움직이고, 격자 밖으로 나가면 반대쪽 가장자리로 돌아옵니다. 모서리 칸에 닿는 순간 멈춥니다. 네 번 안에 모서리에 닿을 확률을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{9}{16}$

(B)

$\frac{5}{8}$

(C)

$\frac{3}{4}$

(D)

$\frac{25}{32}$

(E)

$\frac{13}{16}$

풀이 과정

전략 더 쉬운 문제로 줄이기

도구 #1(그림 그리기) — 격자를 그리고 C/E/V 색칠, 감아 돌기 화살표를 보여 이동 종류 파악. 도구 #9(더 쉬운 문제) — "9 칸 위치" 를 추적하는 대신 격자 대칭으로 "3 가지 칸 종류" 만 추적해 상태공간을 압축. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) — 점프별로 "아직 안 멈춤 + 현재 C" 와 "+ 현재 E" 두 양만 계산 (V 는 멈춤). 도구 #5(패턴 찾기) — 재귀가 짧으니 (4 점프) 한 줄씩 풀면 됨. 도구 #3(가능성 지우기) — 선택지 분모가 모두 32의 약수라 답이 분모 32 일 것을 예상.

1STEP 1

칸을 세 종류로 나누기

칸을 세 종류로 나눕니다.

P(C → E)=1; P(E → V)=1/2, P(E → C)=1/4, P(E → E)=1/4

2STEP 2

이동 규칙 쓰기

가운데에서는 모서리에 바로 갈 수 없습니다.

p_n = 1/2 E_n-1, 합 = p₁ + p₂ + p₃ + p₄

3STEP 3

첫 번째 뛰기

첫 번째 뒤에는 가장자리에 있습니다.

p₁ = 0, C₁ = 0, E₁ = 1

4STEP 4

두 번째 뛰기

두 번째에 절반의 확률로 잡힙니다.

p₂ = 1/2, C₂ = 1/4, E₂ = 1/4

5STEP 5

세 번째 뛰기

살아남은 경우를 갱신합니다.

p₃ = 1/8, C₃ = 1/16, E₃ = 5/16

6STEP 6

네 번째 뛰기

마지막 확률을 계산합니다.

p₄ = 5/32

7STEP 7

모두 더하기

더하면 32분의 25입니다.

0 + 16/32 + 4/32 + 5/32 = 25/32

정답

25/32

범위 점검. P ≥ p₂ = 1/2이고 ≤ 1. 우리 답 25/32 ≈ 0.78은 그 사이 — 모서리에 도달 가능성이 꽤 높지만 보장은 아님과 일치. p_n 값: 0, 1/2, 1/8, 5/32 — 단조감소가 아니고 p₄ ＞ p₃ 인 이유는 E₃ = 5/16 ＞ E₂ = 1/4 (C 에서 E 로 흘러들어온 질량 때문). 모두 일관. 답 (D) 25/32와 일치.

💡핵심 정리

이 AMC 12 문제는 이미 배운 7학년 확률만 있으면 풀려요 — 대칭으로 3 × 3 격자를 세 종류(중앙·변·모서리)로 줄이고 전이 확률 P(E → V) = 1/2, P(E → C) = P(E → E) = 1/4을 구한 뒤 점프별 멈춤 확률 0 + 1/2 + 1/8 + 5/32 = 25/32을 더하면 됩니다.