AMC 10 · 2021 · #5

학년 8 arithmetic

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fraction-decimal-conversiondigit-decompositionlinear-equations-one-var convert-to-algebraguess-and-check ↑ 선수 지식: fraction-decimal-conversion

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

어떤 학생이 66에 소수점 아래 두 자리가 무한히 반복되는 소수를 곱해야 했습니다. 그런데 반복하지 않고 두 자리에서 끝나는 소수를 곱했습니다. 틀린 답이 맞는 답보다 0.5만큼 작았습니다. 그 두 자리 수를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

풀이 과정

전략 추측하고 확인하기

후보는 {15, 30, 45, 60, 75} 다섯 개뿐 — 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 각 값을 두 소수 차에 넣어 66을 곱한 결과가 0.5 인지 검사. 도구 #3(가능성 지우기)으로 0.5가 아닌 후보 탈락. 도구 #11(거꾸로 풀기)은 다섯을 다 거치지 않고 한 단계에 답을 만드는 검증 경로 — 필요한 차 0.5/66 = 1/132 에서 N 을 역산.

1STEP 1

두 소수를 분수로

두 소수를 분수로 씁니다.

1.ab = 1 + N/100, 1.ab = 1 + N/99

2STEP 2

차 계산하기

차의 분모가 9900입니다.

1.ab - 1.ab = N/99 - N/100 = (100N - 99N)/9900 = N/9900

3STEP 3

66을 곱하기

곱하면 분모가 크게 약분됩니다.

66 · N/9900 = (66 N)/9900 = N/150

4STEP 4

방정식 풀기

0.5와 같게 놓고 풉니다.

N/150 = 0.5 → N = 150 · 0.5 = 75

5STEP 5

직접 검산하기

직접 넣어 확인합니다.

66 · 1.75 - 66 · 1.75 = 0.5 ✓

6STEP 6

보기와 맞추기

답은 75입니다.

N = 75 → (E)

정답

각 보기마다 차 N/150을 계산: 15 → 0.1, 30 → 0.2, 45 → 0.3, 60 → 0.4, 75 → 0.5. 0.5를 만드는 유일한 값은 75. 다른 네 보기는 모두 작은 값으로 탈락. 크기 감각도 합리적 — 1 근처의 승수에서 두 자리 순환 부분을 놓치면 결과 차가 0.5 정도가 충분히 가능.

💡핵심 정리

이 AMC 12 문제는 사실 8학년 순환소수-분수 변환만 알면 풀 수 있어요 — 1.ab = 1 + N/99, 1.ab = 1 + N/100으로 두면 차가 N/9900, 66을 곱해 N/150 = 0.5가 되어 N = 75.