AMC 10 · 2021 · #6

학년 7 probability

유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints └ 세부 유형 Ratio Shift — Two State

probability-basiclinear-equations-one-varratio-proportionfraction-arithmetic convert-to-algebraguess-and-check ↑ 선수 지식: probability-basic

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

어떤 묶음에는 빨간 카드와 검은 카드만 있습니다. 지금 무작위로 한 장을 뽑으면 빨강일 확률이 3분의 1입니다. 검은 카드 네 장을 더 넣으면 빨강일 확률이 4분의 1이 됩니다. 네 장을 넣기 전에 묶음에 카드가 몇 장 있었는지 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

풀이 과정

전략 변수 도입하기

구하는 값이 수 하나이므로 도구 #4(변수 도입하기)로 그것을 n — 처음 카드 장수 — 이라 둡니다. 그러면 빨간 카드 수, 검은 카드 수, 새 장수가 모두 n 의 식이 되고, 이것이 바로 도구 #13(대수로 바꾸기)이 두 확률 문장을 하나의 방정식으로 묶는 데 필요한 재료입니다. 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 답에서 실제 묶음을 다시 만들어 두 확률을 확인합니다. 도구 #3(가능성 지우기)은 예비 경로 — 배수 조건만으로 다섯 보기 중 넷이 탈락합니다.

1STEP 1

카드 장수에 이름 붙이기

빨간 카드 수를 전체로 표현합니다.

빨강/n = 1/3 → 빨강 = n/3

2STEP 2

변하지 않는 것 찾기

빨간 카드 수는 그대로입니다.

새 빨강 = n/3, 새 전체 = n + 4

3STEP 3

두 번째 조건을 식으로

새 확률이 방정식을 줍니다.

n/3/(n + 4) = 1/4

4STEP 4

방정식 풀기

정리하면 장수가 나옵니다.

4 · n/3 = n + 4 → 4n/3 - n = 4 → n/3 = 4 → n = 12

5STEP 5

묶음을 다시 만들어 확인

직접 세어 보면 12장입니다.

12 = 4 빨강 + 8 검정 → 4 빨강 + 12 검정 = 16, 4/16 = 1/4 ✓

정답

방향이 맞습니다. 검은 카드를 더하면 빨강은 더 드물어질 수밖에 없고 실제로 1/4 ＜ 1/3입니다. 크기도 자연스럽습니다 — 빨간 카드가 4 장으로 나왔는데 이는 더 넣은 검은 카드 수와 같고, 그래서 분모가 3 등분에서 4 등분으로 한 칸 옮겨간 것입니다. 또 12는 두 배수 조건을 동시에 통과합니다: 12는 3의 배수라 1/3이 정확하고, 12 + 4 = 16은 4의 배수라 1/4도 정확합니다.

💡핵심 정리

처음 장수를 n 이라 두고, 빨간 카드는 그대로인데 전체만 4 장 는다는 점을 보면, 식 n/3/(n+4) = 1/4 하나로 n = 12가 나옵니다.

카드 장수에 이름 붙이기
변하지 않는 것 찾기
두 번째 조건을 식으로
n 구하기
묶음을 다시 만들어 확인

카드 장수에 이름 붙이기

변하지 않는 것 찾기

두 번째 조건을 식으로

방정식 풀기

묶음을 다시 만들어 확인

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