AMC 10 · 2021 · #7

학년 8 algebra

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

polynomial-factoringdifference-of-squaresperfect-squares convert-to-algebrapattern-recognition ↑ 선수 지식: polynomial-factoring

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

모든 실수 짝에 대해 두 제곱의 합으로 이루어진 식이 가질 수 있는 가장 작은 값을 구하세요. 두 항이 모두 제곱이므로 값은 결코 음수가 아닙니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

$\frac{1}{4}$

(C)

$\frac{1}{2}$

(D)

(E)

풀이 과정

전략 다르게 정리하기

도구 #15(다르게 정리하기)가 핵심 — 원래 식은 답을 숨기지만 전개 후 재묶음으로 깔끔한 곱 구조가 드러남. 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 두 제곱을 전개·정리해 (x² + 1)(y² + 1)로 인수분해. 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 (0, 0)이 최소를 실제로 만든다는 것을 확인. 도구 #3(가능성 지우기)으로 0 (xy=1과 x+y=0의 실수해 없음)과 더 큰 보기들을 탈락.

1STEP 1

영이 될 수 있는지 확인

두 제곱을 동시에 0으로 만들 수 없습니다.

x + y = 0, xy = 1 → -x² = 1 (실수해 없음)

2STEP 2

전개해서 정리하기

전개하면 교차항이 지워집니다.

(xy-1)² + (x+y)² = x² y² - 2xy + 1 + x² + 2xy + y² = x² y² + x² + y² + 1

3STEP 3

인수분해하기

남은 식이 두 인수의 곱이 됩니다.

x² y² + x² + y² + 1 = (x² + 1)(y² + 1)

4STEP 4

하한 읽기

두 인수가 모두 1 이상입니다.

x² + 1 ≥ 1, y² + 1 ≥ 1 → (x² + 1)(y² + 1) ≥ 1

5STEP 5

실제로 닿는지 확인

원점에서 실제로 닿습니다.

(0, 0): (0 - 1)² + 0² = 1 ✓

6STEP 6

최솟값 읽기

최솟값은 1입니다.

min = 1 → (D)

정답

두 갈래 확인: 인수분해로 (x²+1)(y²+1) ≥ 1이 모든 실수 x, y 에서 성립함이 증명되고, (0, 0)이 1을 실제로 달성하므로 정확한 최소. 1 보다 작은 보기 {0, 1/4, 1/2}는 부등식으로 제외. 1이 달성되므로 (E) 2도 너무 큼.

💡핵심 정리

이 AMC 12 문제는 사실 8학년 대수만 알면 풀 수 있어요 — 두 제곱을 전개해 ± 2xy 가 소거되게 하고, (x² + 1)(y² + 1)로 인수분해하면 각 인수가 ≥ 1이라 곱도 ≥ 1, (0, 0) 에서 최소 1이 실제로 달성.