AMC 10 · 2021 · #8

학년 4 pattern

유형 Modular Cycle Frequency Count └ 세부 유형 Position-in-Cycle Lookup

recursive-sequenceparitymodular-arithmeticpattern-recognition pattern-recognitionsystematic-enumeration ↑ 선수 지식: parity

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

📘 쉬운 버전 보기 →

문제

어떤 수열이 0, 0, 1로 시작하고 그다음부터는 바로 앞 항에 세 자리 앞의 항을 더한 값입니다. 2021번째, 2022번째, 2023번째 항이 각각 짝수인지 홀수인지 그 순서대로 말하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(O,E,O)

(B)

(E,E,O)

(C)

(E,O,E)

(D)

(O,O,E)

(E)

(O,O,O)

풀이 과정

전략 패턴 찾기

도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)가 문제를 다룰 수 있게 만듦 — 합의 패리티는 부분들의 패리티로 정해지므로 실제 크기를 버리고 짝수·홀수만 남김. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 n = 0부터 빠짐없이 패리티 표를 만듦. 도구 #5(패턴 찾기)가 결정타 — 패리티 나열이 반복되며, 반복 주기를 알면 지수 2021이 아주 작은 번호로 줄어듦. 도구 #3(가능성 지우기)으로 얻은 삼중항을 다섯 보기와 대조.

1STEP 1

짝홀만 추적하기

크기 대신 짝홀만 봅니다.

E+E=E, E+O=O, O+O=E

2STEP 2

앞쪽 항 만들기

앞쪽 열몇 항을 만듭니다.

D₀,…,D₁₀ = 0, 0, 1, 1, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 13

3STEP 3

짝홀 줄로 바꾸기

각 항을 짝홀로 바꿔 씁니다.

n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 ; D_n & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 6 & 9 & 13 ; parity & E & E & O & O & O & E & O & E & E & O & O

4STEP 4

반복 주기 찾기

짝홀이 일곱마다 반복됩니다.

(D₇,D₈,D₉) ≡ (E,E,O) ≡ (D₀,D₁,D₂) → D_n 의 패리티 = D_n+7의 패리티

5STEP 5

나머지 구하기

세 번호를 일곱으로 나눈 나머지를 봅니다.

2021 = 7 · 288 + 5, 2022 = 7 · 288 + 6, 2023 = 7 · 289 + 0

6STEP 6

표에서 답 읽기

답은 짝수, 홀수, 짝수입니다.

D₂₀₂₁ ≡ D₅ = E, D₂₀₂₂ ≡ D₆ = O, D₂₀₂₃ ≡ D₀ = E → (C) (E,O,E)

정답

(E,O,E)

주기 7은 근거로 쓴 한 번의 일치 말고도 더 확인됩니다. n = 10,11,12,13의 값 13, 19, 28, 41의 패리티는 O,O,E,O 로, n = 3,4,5,6의 O,O,E,O 와 정확히 같습니다. 표를 n = 20까지 늘려도 덩어리 E,E,O,O,O,E,O 가 어긋남 없이 반복됩니다. 문제의 세 번호는 순환의 서로 다른 세 자리에 떨어지고, 그 결과인 (E,O,E)는 다섯 보기 중 정확히 하나이므로 다른 보기는 성립할 수 없습니다. 타당성 확인 하나 더 — D₂₀₂₃ = D₂₀₂₂ + D₂₀₂₀이 짝수이려면 두 항의 패리티가 같아야 하는데, 순환은 D₂₀₂₂를 자리 6 (O), D₂₀₂₀을 자리 4 (O)에 놓아 서로 맞습니다.

💡핵심 정리

이 AMC 12 문제는 4학년 산수면 충분합니다 — 큰 수 대신 짝수·홀수만 남기고, 앞의 몇 항을 나열해 7칸마다 반복되는 것을 찾은 뒤, 2021을 7로 나눈 나머지 자리를 표에서 읽으면 끝입니다.

크기 대신 패리티만 추적
앞쪽 항 만들기
패리티 줄로 바꾸기
반복 발견: 주기 7
2021, 2022, 2023을 7로 나눈 나머지
표에서 답 읽기