AMC 10 · 2021 · #10

학년 9 number-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor-Pair Enumeration

simons-favorite-factoring-tricktriangular-numbersprime-factorizationfactors convert-to-algebrasystematic-enumerationbound-inequality-then-enumerate ↑ 선수 지식: factorstriangular-numbers

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

1부터 37까지의 수 중에서 서로 다른 두 수를 골라 빼냅니다. 남은 서른다섯 개의 수의 합이 빼낸 두 수의 곱과 정확히 같습니다. 그 두 수의 차를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

풀이 과정

전략 변수 도입하기

모르는 것은 고른 두 수뿐이고, 문제 전체는 그 둘을 묶는 한 문장이다. 두 수에 이름을 붙이면 그 문장이 곱과 합을 동시에 담은 하나의 방정식이 된다. 미지수가 둘인데 방정식이 하나뿐이면 보통 해가 무수히 많으므로 방정식만으로는 부족하다. 빠져나갈 길은 그것을 두 괄호의 곱이 고정된 수와 같다는 꼴로 바꾸는 것이다. 그 모양이 되면 두 수가 자연수이고 범위가 제한된다는 사실이 나머지 일을 대신해 준다. 고정된 수의 약수 쌍은 몇 개뿐이기 때문이다.

1STEP 1

집합 전체의 합 구하기

1부터 37까지의 합을 구합니다.

1 + 2 + … + 37 = (37 · 38)/2 = 703

2STEP 2

두 수에 이름 붙이기

조건이 방정식 하나가 됩니다.

703 - a - b = ab ⟹ ab + a + b = 703

3STEP 3

1을 더해 인수분해 만들기

1을 더하면 곱으로 묶입니다.

ab + a + b + 1 = 704 ⟹ (a+1)(b+1) = 704

4STEP 4

약수 쌍 나열하기

오른쪽 수의 약수 쌍을 나열합니다.

704 = 2⁶ · 11: 1 · 704, 2 · 352, 4 · 176, 8 · 88, 11 · 64, 16 · 44, 22 · 32

5STEP 5

범위로 한 쌍만 남기기

범위 조건이 한 쌍만 남깁니다.

2 ≤ a+1 ＜ b+1 ≤ 38 ⟹ {a+1, b+1} = {22, 32}

6STEP 6

되돌리고 확인하기

차는 10입니다.

a = 21, b = 31; 21 · 31 = 651 = 703 - 21 - 31; 31 - 21 = 10

정답

인수분해 논증은 후보를 정확히 한 쌍만 남기고, 그 쌍은 원래 조건을 어림 없이 통과한다. 21 곱하기 31은 651이고, 남은 35개 수의 합은 703 빼기 52로 역시 651이다. 크기 감각으로도 맞는다. 곱이 703 근처에 떨어져야 하므로 두 수의 곱은 대략 700이어야 하는데, 21 곱하기 31은 651이고 두 수의 합 52가 그 차이를 정확히 메운다. 이웃한 추측은 실패한다. 20과 33은 곱이 660인데 남은 합은 703 빼기 53으로 650이다. 두 수 모두 1과 37 사이에 있고 서로 다르며, 차 10은 주어진 다섯 선택지 중 하나이다.

💡핵심 정리

두 미지수의 곱과 합이 한 방정식에 섞여 있으면, 인수분해를 완성시키는 항 하나를 더해 보라. 그러면 문제가 약수 쌍을 나열하는 일로 바뀐다.

집합 전체의 합부터 구하기
두 수에 이름 붙이기
1을 더해 인수분해 만들기
704의 약수 쌍 모두 나열하기
범위로 한 쌍만 남기기
더한 1을 되돌리고 확인하기