AMC 10 · 2021 · #12

학년 6 algebra

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Successive Multiplicative Steps

mean-median-mode-rangesystems-of-equationslinear-equations-two-vardecimal-arithmetic convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: mean-median-mode-rangesystems-of-equations

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

양의 정수로 이루어진 유한집합이 있습니다. 가장 큰 수를 빼면 평균이 32가 되고, 가장 작은 수까지 빼면 35가 되며, 가장 작은 수만 빼면 40이 됩니다. 또 가장 큰 수와 가장 작은 수의 차가 72입니다. 원래 집합 전체의 평균을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

36.2

(B)

36.4

(C)

36.6

(D)

36.8

(E)

풀이 과정

전략 대수로 바꾸기

도구 #13 (대수) — 네 문장이 그대로 n, Σ, G, L 의 네 방정식으로 번역됩니다. 일단 식이 서면 깔끔: 평균이 "n - 1로 나눈 두 식" 은 G 를 빼느냐 L 을 빼느냐만 다르므로, 두 식을 빼면 G - L = 8(n - 1)이 바로 나오고 조건 (4)와 결합해 n 이 한 번에 결정. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기)가 미지수 순서를 정해줍니다: 먼저 n, 다음 L (n - 2 식에서), 그다음 Σ (다시 n - 1 식에 대입). 마지막에 Σ / n. 각 단계는 신중한 계산만 필요 — 복잡한 대수 조작 없이.

1STEP 1

조건을 식으로 쓰기

네 조건을 모두 식으로 씁니다.

(1) Σ - G &= 32(n-1) ; (2) Σ - G - L &= 35(n-2) ; (3) Σ - L &= 40(n-1) ; (4) G - L &= 72

2STEP 2

두 식 빼기

빼면 개수만 남습니다.

(3) - (1): G - L = (40 - 32)(n - 1) = 8(n - 1)

3STEP 3

개수 구하기

주어진 차가 개수를 정합니다.

72 = 8(n - 1) → n - 1 = 9 → n = 10

4STEP 4

가장 작은 수 구하기

두 식이 가장 작은 수를 줍니다.

Σ - G = 288, Σ - G - L = 280 → L = 8

5STEP 5

전체 합 구하기

전체 합을 구합니다.

Σ = 40 · 9 + L = 360 + 8 = 368

6STEP 6

평균 내기

평균은 36.8입니다.

Σ/n = 368/10 = 36.8 → (D)

정답

36.8

G 로 검증: (4) 에서 G = L + 72 = 8 + 72 = 80. (1) 확인: Σ - G = 368 - 80 = 288 = 32 · 9 ✓. (2) 확인: Σ - G - L = 368 - 80 - 8 = 280 = 35 · 8 ✓. (3) 확인: Σ - L = 368 - 8 = 360 = 40 · 9 ✓. 네 조건 모두 성립. 36.8 이라는 답이 32 (최저 보고된 평균)와 40 (최고) 사이에 자연스럽게 위치 — 균형 잡힌 평균이 보일 만한 위치.

💡핵심 정리

이 AMC 12 문제는 사실 6학년 때 배운 "합 = 평균 × 개수" 방정식만 알면 풀 수 있어요! n - 1 짜리 두 평균을 빼서 G - L = 8(n-1) = 72, 그러니 n = 10. 그러면 Σ = 368이고 답은 368/10 = 36.8.