AMC 10 · 2021 · #14
학년 10 geometry-3d답을 골라 클릭하세요.
각뿔의 부피를 구하려면 밑면의 넓이와 높이, 두 가지가 필요합니다. 여기서 높이는 DM이고 밑면의 넓이는 DA 곱하기 DC이므로, 문제 전체가 세 길이를 찾는 일로 줄어듭니다. 아직 숫자로 주어진 것이 없으니 첫 번째 할 일은 이 세 길이와, 연속하는 세 홀수 중 가장 작은 수에 이름을 붙이는 것입니다. DM이 밑면 평면 전체에 수직이므로 MA, MC, MB는 모두 DM을 한 변으로 갖는 직각삼각형의 빗변입니다. 그러면 같은 문자들로 된 피타고라스 식 세 개가 생깁니다. 그다음 미지수 두 개를 대수적으로 없애면 정수 높이와 정수 빗변 거리만 남는 식 하나가 되고, 바로 이 정수 조건이 답을 확정해 줍니다.
직각삼각형 세 개 찾기
수직으로 서 있어 직각이 셋 생깁니다.
평평한 종이 위에 수직으로 세운 선분은 그 밑점을 지나는 종이 위의 모든 직선과 직각을 이룹니다.
평면에서 곧게 솟은 선분은 그 발을 지나는 평면 위의 모든 직선과 직각을 이룬다.
▸ 왜?
각 직각 덕분에 비스듬한 거리를 평면 위의 변과 같은 수직 변으로 다시 세울 수 있다.
▸ 왜?
그 수직 변이 바로 부피 공식이 요구하는 높이이므로, 따로 할 일이 없다.
피타고라스 세 번 쓰기
세 개의 식이 나옵니다.
꼭짓점에서 뻗은 빗변 거리들은 모두 같은 수직 변 위의 빗변이므로, 하나마다 깔끔한 식이 하나씩 생깁니다.
8.G.B.7Introduce A Variable밑면의 변 소거하기
두 변이 소거됩니다.
남은 항이 무엇과 같은지 이미 다른 식이 말해 주고 있으니, 그것을 대입하면 필요 없는 미지수가 지워집니다.
9.A-SSE.A.2Convert To Algebra제곱의 차 꼴로 쓰기
남은 식이 제곱의 차가 됩니다.
제곱 두 개만 남고 다른 항이 없는 식은 인수분해해 달라는 신호이고, 그러면 크기 문제가 약수를 세는 문제로 바뀝니다.
9.A-SSE.B.3Organize Information In More Ways정수 약수 쌍 따지기
정수 조건이 짝을 하나로 만듭니다.
두 자연수의 곱이 16이어야 한다면 후보 쌍은 몇 개뿐이고, 홀짝과 양수 조건이 하나만 남기고 모두 지웁니다.
4.OA.B.4Eliminate Possibilities직사각형의 변 되찾기
두 변의 길이를 되찾습니다.
높이가 정해지면 각 빗변 거리가 그 아래 숨어 있던 밑면의 변을 곧바로 돌려줍니다.
8.EE.A.2Identify Subproblems부피 공식 적용하기
부피는 24루트5입니다.
밑면 평면에 수직인 선분은 부피 공식이 요구하는 높이 그 자체라서 따로 구할 필요가 없습니다.
10.G-GMD.A.3Draw A Diagram여러 빗변 거리가 같은 수직 변에 기대어 있을 때는 각각에 대해 피타고라스 식을 쓰고, 빼서 필요 없는 길이를 지운 다음, 남은 제곱의 차와 정수 조건으로 마무리하면 됩니다.
- 직각삼각형 세 개를 알아보기
- 길이에 이름 붙이고 피타고라스를 세 번 쓰기
- 밑면의 변 x와 y를 없애기
- 제곱의 차 꼴로 다시 쓰기
- 정수 약수 쌍을 따져 보기
- 직사각형의 변 길이 되찾기
- 각뿔 부피 공식 적용하기