AMC 10 · 2021 · #16

학년 11 algebra

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Symmetric Function of Roots via Vieta

polynomial-rootsvieta-formulasfunction-evaluationpolynomial-factoring convert-to-algebrasymmetry-argumentguess-and-check ↑ 선수 지식: polynomial-rootsvieta-formulas

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

어떤 삼차식에 세 근이 있습니다. 또 다른 다항식은 최고차항 계수가 1이고 그 세 근이 정확히 첫 삼차식의 근들의 역수입니다. 둘째 다항식에 1을 넣은 값을 첫 삼차식의 계수들만으로 나타내세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1+a+b+c}c$

(B)

1+a+b+c

(C)

$\frac{1+a+b+c}{c^2}$

(D)

$\frac{a+b+c}{c^2}$

(E)

$\frac{1+a+b+c}{a+b+c}$

풀이 과정

전략 변수 도입하기

도구 #4 (변수 도입하기) — 문제는 근을 말하면서도 이름을 붙이지 않으니 우리가 붙입니다. f 의 세 근을 r, s, t 라고 두면 g 를 인수분해된 꼴로 쓸 수 있고, g(1)은 세 개의 간단한 인수의 곱이 됩니다. 도구 #16 (관점 바꾸기) — 근 자체를 구하려 들지 말고 (a, b, c 로부터 근을 계산하는 건 불가능합니다) 근과 계수의 관계가 공짜로 주는 두 대칭식, 곱 rst 와 값 f(1) = (1-r)(1-s)(1-t)에 초점을 옮깁니다. g(1)에 필요한 건 이 둘뿐입니다. 도구 #6 (추측하고 확인하기)와 도구 #3 (가능성 지우기)는 안전장치: 1 ＜ a ＜ b ＜ c 를 만족하는 구체적인 삼차식을 하나 만들어 g(1)을 수치로 구하고, 다섯 식 중 어느 것이 살아남는지 봅니다.

1STEP 1

근에 이름 붙이기

세 근에 이름을 붙입니다.

f(x) = x³ + ax² + bx + c = (x-r)(x-s)(x-t), c ≠ 0 이므로 r, s, t ≠ 0

2STEP 2

둘째 다항식에 1 넣기

세 인수의 곱이 됩니다.

g(1) = (1 - 1/r)(1 - 1/s)(1 - 1/t)

3STEP 3

역수 정리하기

분자와 분모로 나눠 씁니다.

g(1) = (r-1)/r · (s-1)/s · (t-1)/t = (r-1)(s-1)(t-1)/rst

4STEP 4

분자 알아보기

분자가 첫 다항식의 값입니다.

(r-1)(s-1)(t-1) = (-1)³ (1-r)(1-s)(1-t) = -f(1) = -(1 + a + b + c)

5STEP 5

분모 구하기

근과 계수의 관계가 분모를 줍니다.

-rst = c → rst = -c

6STEP 6

합쳐서 읽기

결과는 계수의 합을 상수항으로 나눈 값입니다.

g(1) = (-(1+a+b+c))/-c = (1+a+b+c)/c → (A)

정답

1+a+b+cc

구체적인 삼차식으로 확인합니다. 근을 -3, -4, -5로 잡으면 f(x) = (x+3)(x+4)(x+5) = x³ + 12x² + 47x + 60 이므로 a = 12, b = 47, c = 60이고 실제로 1 ＜ 12 ＜ 47 ＜ 60입니다. 역수 근은 -1/3, -1/4, -1/5 이므로 g(1) = (1 + 1/3)(1 + 1/4)(1 + 1/5) = 4/3 · 5/4 · 6/5 = 2. 이제 선택지를 채점하면 (A)는 (1+12+47+60)/60 = 120/60 = 2, (B)는 120, (C)는 120/3600 = 1/30, (D)는 119/3600, (E)는 120/119. 살아남는 것은 (A) 뿐입니다. 크기 감각으로도 맞습니다: 역수 근은 각각 원래 근의 1/근 규모이므로 g(1)은 1+a+b+c 처럼 크지도, c²으로 나눈 것처럼 작지도 않은 적당한 수여야 합니다 — 분모에 들어갈 c 는 정확히 한 개.

💡핵심 정리

근 자체는 끝까지 구할 필요가 없습니다. 근을 r, s, t 라 이름 붙이고 g(1) = (r-1)(s-1)(t-1)/rst로 쓰면, 분자는 -f(1) = -(1+a+b+c), 분모는 -c — 그래서 g(1) = (1+a+b+c)/c. 기억해 둘 지름길: 다항식의 모든 근을 역수로 바꾸면 계수 목록이 거꾸로 뒤집힙니다.

f 의 근에 이름 붙이기
g 를 세우고 1을 대입
역수 정리하기
분자가 -f(1) 임을 알아보기
분모는 근과 계수의 관계로
합쳐서 선택지 읽기