AMC 10 · 2021 · #18
학년 11 algebra답을 골라 클릭하세요.
절댓값 기호는 계산을 막으므로, 도구 #15 (다르게 정리하기)로 각 |w|²을 곱 ww로 바꾼다 — 값은 그대로지만 이제 전개할 수 있다. 그렇게 하면 전개 결과에는 z + z와 zz 두 조합만 나타나는데, 이 식이 z 와 켤레복소수를 구별하지 못하기 때문이다. 도구 #4 (변수 도입하기)로 그 두 조합에 s 와 p 라는 이름을 붙인다. 둘 다 실수이므로 도구 #13 (대수로 바꾸기)이 복소수에 관한 조건을 s, p 에 대한 평범한 실수 방정식 하나로 바꿔 준다. 완전제곱식을 만들면 그 식은 제곱 두 개의 합이 0 이라는 꼴로 줄어들고, 도구 #14 (극단의 원리)가 마무리한다: 제곱은 결코 0 보다 작을 수 없으므로 합이 0이면 각 제곱이 0 이어야 하고, s 와 p 가 정확히 결정된다.
절댓값을 켤레의 곱으로
절댓값 제곱을 켤레의 곱으로 바꿉니다.
절댓값은 제곱근을 숨기고 있지만, 수를 켤레와 짝지으면 전개할 수 있는 평범한 곱으로 바뀐다.
11.N-CN.A.3Organize Information In More Ways두 실수량에 이름 붙이기
합과 곱이 모두 실수입니다.
식이 z 와 z를 구별하지 못하므로, 결국 둘의 합과 곱에만 의존할 수 있다.
9.A-CED.A.2Introduce A Variable각 항을 전개하기
모든 항을 그 두 값으로 씁니다.
두 전개가 모두 s 와 p 만으로 정리되는데, 이것이 이름을 붙인 대가로 얻는 것이다.
11.N-CN.A.2Introduce A Variable실수 방정식 하나로 모으기
허수부가 모두 사라집니다.
모든 조각을 s 와 p 로 적고 나면, 복소수 문제가 변수 두 개짜리 실수 대수 문제가 된다.
9.A-SSE.A.2Convert To Algebra완전제곱 두 번 만들기
두 개의 완전제곱이 만들어집니다.
완전제곱식은 흩어진 식을 거리의 제곱으로 다시 묶어 주는데, 여기서는 그 거리가 0으로 드러난다.
9.A-SSE.B.3Organize Information In More Ways합이 0이면 각각 0
합이 0이라 각각이 0입니다.
제곱이 가질 수 있는 가장 작은 값이 0 이므로, 합이 0이면 어느 제곱도 양수가 될 자리가 없다.
제곱이 가질 수 있는 가장 작은 값은 0이므로, 합이 0이면 어느 제곱도 양수일 자리가 없다.
▸ 왜?
어느 한 제곱이라도 양수면 합도 양수가 되는데, 다른 쪽이 그것을 끌어내릴 수 없기 때문이다.
▸ 왜?
합이 0이라는 것은 남는 것이 없다는 뜻이므로, 어느 조각도 아무것도 보탤 수 없다.
구하려는 값 읽기
값은 마이너스 2입니다.
6은 |z|²과 맞아떨어지도록 심어 둔 수라서, 분수는 켤레복소수로 바뀌고 식 전체는 이미 아는 값이 된다.
11.N-CN.A.3Organize Information In More Ways각 |w|²을 ww로 바꾸고, 두 실수량 z + z와 zz에 이름을 붙인 뒤 완전제곱식을 만들어 제곱의 합이 0이 되게 하면, 6/z는 그냥 z이다.
- 절댓값을 켤레의 곱으로 바꾸기
- 두 실수량에 이름 붙이기
- 각 항을 s 와 p 로 전개하기
- 실수 방정식 하나로 모으기
- 완전제곱식을 두 번 만들기
- 합이 0이면 제곱도 각각 0
- 구하려는 값 읽어 내기