AMC 10 · 2021 · #19
학년 8 probability답을 골라 클릭하세요.
주사위를 모르니 면의 개수를 a, b로 이름 붙이고 문제의 모든 문장을 순서쌍의 개수에 대한 진술로 바꾼다. ab가지 결과가 모두 같은 확률이므로 각 확률은 (그 합이 되는 순서쌍의 개수)를 ab로 나눈 값이고, 분모가 같다는 점 덕분에 첫 번째 조건은 순수한 개수 문제가 된다. 핵심 구조는 각 합에 대한 개수에 상한이 있다는 것이다. 7, 10, 12를 만드는 순서쌍은 유한개뿐이고, 두 주사위가 6면 이상이라는 조건만으로 그중 대부분이 이미 존재한다. 이 상한을 밀어붙이면 a가 하나의 값으로 좁혀지고, 그다음에는 합이 12인 조건이 b에 대한 일차방정식 하나가 된다. 최솟값을 원하므로 살아남은 후보 중 가장 작은 쪽을 택한다.
표본공간 정하기
모든 확률의 분모가 같습니다.
공정한 주사위에서는 모든 순서쌍이 같은 확률이므로, 확률 문제가 분모가 하나로 통일된 개수 세기 문제가 된다.
공정한 주사위는 순서 있는 모든 짝을 똑같이 일어날 만하게 하므로, 확률 문제가 순수한 셈이 된다.
▸ 왜?
모든 결과가 같은 무게를 지닐 때, 확률은 원하는 개수를 전체 개수로 나눈 것이다.
▸ 왜?
두 주사위는 서로 상관없이 굴려지므로, 면의 모든 짝이 정확히 한 번씩 나타난다.
합이 7인 경우 세기
면이 많아도 여섯 가지뿐입니다.
7은 작아서 필요한 눈금이 1부터 6까지뿐인데, 이 문제의 모든 주사위는 그 눈금을 반드시 갖고 있다.
7.SP.C.8Make A Systematic List비율을 개수로 바꾸기
비율이 합이 10인 경우의 수를 줍니다.
결과의 개수가 같은 두 확률의 비는 곧 두 개수의 비이므로, 모르는 값 a*b가 곧바로 사라진다.
6.RP.A.3Introduce A Variable면 수 좁히기
그 개수가 한쪽 면 수를 확정합니다.
10을 만드는 방법은 아홉 가지가 천장인데, 여덟 가지를 요구한다는 것은 끝쪽 순서쌍 하나만 막혔다는 뜻이고, 그 막는 역할은 작은 주사위만 할 수 있다.
7.SP.C.8Extreme Principle합이 12인 경우 세기
남은 면 수에 따라 경우가 갈립니다.
12를 만드는 여덟 개의 짝 중 실제로 몇 개가 존재하는지는 오직 큰 주사위의 천장이 결정한다.
7.SP.C.8Make A Systematic List방정식 풀기
두 후보가 나옵니다.
b의 구간마다 n₁₂의 식이 다르므로, 확률 조건 하나가 구간별로 짧은 일차방정식 하나씩이 된다.
7.EE.B.4Introduce A Variable작은 쪽 택하고 확인
작은 쪽은 17입니다.
후보가 주사위 두 쌍으로 줄어들면, 모든 확인을 통과하는 것 중 합이 가장 작은 쪽이 답이다.
8.EE.C.7Eliminate Possibilities주사위가 공정하면 확률 문제는 결국 개수 세기 문제다. 모든 단서를 같은 분모 위의 순서쌍 개수로 옮겨 적으면, 모르는 주사위 크기가 하나씩 조여져 나온다.
- 주사위와 표본공간에 이름 붙이기
- 합이 7이 되는 경우 세기
- 비율을 개수로 바꾸기
- 합 10의 상한으로 a 조이기
- 합이 12가 되는 경우 세기
- 합 12 방정식 풀기
- 작은 쪽을 택하고 확인하기