AMC 10 · 2021 · #21

학년 11 algebra

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logarithm-propertiesexponential-functionsign-analysisgraph-reading convert-to-algebraguess-and-checkbound-inequality-then-enumerate ↑ 선수 지식: logarithm-propertiesexponential-function

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

어떤 방정식이 양변 모두 지수 위에 지수가 얹힌 꼴입니다. 이를 만족하는 모든 양의 실수를 더한 값을 봅니다. 그 합을 정확히 구하는 대신 다섯 구간 진술 중 참인 것을 고르세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$S<\sqrt2$

(B)

$S=\sqrt2$

(C)

$\sqrt2<S<2$

(D)

$2\le S<6$

(E)

$S\ge 6$

풀이 과정

전략 다르게 정리하기

정면으로 보면 이 방정식은 소거할 것이 없는 지수 탑입니다. 그래서 도구 #15(다르게 정리하기)가 경로를 잡습니다. 양변에 log₂를 취하면 전체가 log₂ x = 2^ x-1-√2로 재배치되어, 느린 로그 곡선 하나와 빠른 지수 곡선 하나의 대결이 됩니다. 이 꼴에서는 도구 #6(추측하고 확인하기)이 심어 둔 해 x=√2를 즉시 찾아냅니다. 그 값이 지수 안의 √2를 스스로 지우기 때문입니다. 그다음 도구 #1(그림 그리기)이 개수 문제를 해결합니다. 로그 쪽은 아래로 굽고 지수 쪽은 위로 굽으므로 두 곡선은 많아야 두 번 만나고, 남은 해는 정확히 하나뿐입니다. 마지막으로 도구 #3(가능성 지우기)이 그 해를 계산하지 않고 마무리합니다. 깔끔한 부호 확인 두 번으로 해를 2와 4 사이에 가두면, 그 우리만으로도 다섯 선택지 중 넷이 떨어져 나갑니다.

1STEP 1

양변에 로그 취하기

로그가 지수 사다리를 한 층 내립니다.

2^√2log₂ x = 2^xlog₂√2 = 2^x·1/2 = 2^ x-1 ⟹ log₂ x = 2^ x-1-√2

2STEP 2

심어 둔 해 읽어내기

눈에 띄는 해가 하나 있습니다.

x=√2: log₂√2=1/2, 2^ √2-1-√2=2⁻¹=1/2

3STEP 3

해가 둘뿐임을 보이기

볼록성이 해를 둘로 제한합니다.

h(x)=log₂ x-2^ x-1-√2, h''(x)=-1/(x²ln 2)-(ln 2)² 2^ x-1-√2 ＜ 0

4STEP 4

두 번째 해 가두기

부호 변화로 두 번째 해를 가둡니다.

h(2)=1-2^ 1-√2 ＞ 0, h(4)=2-2^ 3-√2 ＜ 0 ⟹ 2 ＜ r ＜ 4

5STEP 5

더해서 구간 고르기

합은 2 이상 6 미만입니다.

S=√2+r, 2+√2 ＜ S ＜ 4+√2 ⟹ 3 ＜ S ＜ 6 ⟹ 2 ≤ S ＜ 6 (D)

정답

2 ≤ S ＜ 6

답에 여유가 얼마나 있는지 보려고 우리를 더 좁혀 봅니다. x=3에서 차이는 log₂ 3-2^ 2-√2≈ 1.585-1.501 ＞ 0이고, x=3.2에서는 log₂ 3.2-2^ 2.2-√2≈ 1.678-1.724 ＜ 0입니다. 따라서 두 번째 해는 약 3.14이고 S≈√2+3.14≈ 4.55입니다. 이 값은 [2,6) 안에 양쪽 끝에서 멀찍이 떨어져 편안히 놓이므로, 거친 범위 3 ＜ S ＜ 6이 경계에 걸칠 위험은 애초에 없었습니다. 첫 번째 해도 손대지 않은 원래 방정식에서 바로 확인됩니다. x=√2일 때 양변은 모두 √2^{ 2^√2}입니다.

💡핵심 정리

양변에 지수가 겹겹이 쌓여 있으면 로그로 납작하게 편 다음, 느린 로그 곡선과 빠른 지수 곡선을 견주세요. 교점을 정확히 구하지 않고 가두는 것만으로 끝나는 경우가 많습니다.

양변에 밑이 2인 로그 취하기
심어 둔 해 읽어내기
해가 정확히 두 개임을 보이기
두 번째 해를 2와 4 사이에 가두기
두 해를 더해 구간 고르기

양변에 로그 취하기

심어 둔 해 읽어내기

해가 둘뿐임을 보이기

두 번째 해 가두기

더해서 구간 고르기

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