AMC 10 · 2021 · #4
학년 6 rate-ratio weighted-averageratio-proportionmean-median-mode-rangefraction-arithmetic easier-related-problemidentify-subproblems ↑ 선수 지식: mean-median-mode-rangeratio-proportion
📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
선생님이 두 반에 같은 시험을 냈습니다. 오전 반의 평균은 84점이고 오후 반의 평균은 70점입니다. 오전 반이 더 작아서 두 반의 학생 수의 비는 3 대 4입니다. 전체 학생의 평균을 구하세요.
답을 골라 클릭하세요.
(A)
74
(B)
75
(C)
76
(D)
77
(E)
78
풀이 과정
전략 더 쉬운 문제로 줄이기
도구 #9(더 쉬운 문제로): 인원이 안 주어졌으니 비 3:4의 가장 작은 정수 쌍 — 오전반 3 명, 오후반 4 명 — 으로 잡아 구체화. 평균은 인원의 절대값에 좌우되지 않으므로 답은 그대로. 도구 #8(단위 살펴보기): 평균 = 총점 ÷ 총인원 — 점 ÷ 명 = 점/명. 도구 #3(가능성 지우기): 인원이 많은 쪽이 평균을 끌어당기므로 답은 중점 77 미만 — (D), (E) 즉시 탈락.
1STEP 1
비를 학생 수로 바꾸기
비를 실제 인원으로 씁니다.
오전반 인원 = 3, 오후반 인원 = 4
6학년 비 — 3:4는 인원이 3,4 든 30,40 든 300,400 이든 같음.
6.RP.A.1Solve An Easier Related Problem2STEP 2
각 반의 총점 구하기
평균에 인원을 곱해 총점을 냅니다.
252 = 84 · 3, 280 = 70 · 4
6학년 중심경향 — 평균 × 인원 = 점수 총합.
평균에 개수를 곱하면 모든 점수의 합이 돌아온다.
▸ 왜?
평균은 총합을 개수로 나눈 것이므로, 다시 곱하면 총합이 돌아온다.
평균은 합을 개수로 나눈 것산술평균은 합을 값의 개수로 균등하게 나눈 것: 평균 = 합 ÷ 개수 (따라서 합 = 평균 × 개수).
▸ 왜?
합쳐진 무리는 두 반을 모은 것 그대로이므로, 총합도 개수도 더해진다.
전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.
3STEP 3
전체 합치기
총점과 인원을 각각 더합니다.
전체 총점 = 252 + 280 = 532, 전체 인원 = 3 + 4 = 7
3학년 1000 이내 덧셈 — 부분합을 그대로 더함.
3.NBT.A.2Analyze The Units4STEP 4
나누기
인원이 다르므로 가중평균이 됩니다.
x = 532/7 = 76
4학년 나눗셈 — 7 · 76 = 532 이므로 몫은 정확히 76.
4.NBT.B.6Analyze The Units5STEP 5
보기와 맞추기
평균은 76입니다.
76 → (C)
4학년 자연수 비교 — 큰 집단이 평균을 자기 쪽으로 끌어옴.
4.NBT.A.2Eliminate Possibilities정답
76
합리성: 76은 70과 84 사이(양호), 그리고 70 쪽에 더 가까움 (76-70=6 vs 84-76=8) — 오후반이 더 큰 집단인 사실과 일치. 또 인원을 10 배(30, 40 명) 해서 다시 계산하면 84 · 30 + 70 · 40 = 2520 + 2800 = 5320, 70 명으로 나누면 76 — 같은 답으로 비 불변성 확인.
💡핵심 정리
이 AMC 12 문제는 사실 6학년 비 개념만 알면 풀 수 있어요 — 오전반 3 명, 오후반 4 명이라 치고(3:4 그대로), 3 · 84 + 4 · 70 = 532 점을 7 명으로 나누면 76, 답은 (C).